Uma variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade:
X 10 12 13 25
P(X) 0,2 0,3 0,4 0,1
b) a esperança e o desvio padrão da variável aleatória X ; R: E(X)=13,3 e sigmaX=raizVar(X)=4 , 0 5.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma variável aleatória $ X $ com os valores 10, 12, 13 e 25, e suas respectivas probabilidades. Nosso objetivo é calcular a esperança matemática $ E(X) $ e o desvio padrão $ \sigma_X $ dessa variável. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança matemática $ E(X) $. A esperança é a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, onde cada valor é multiplicado pela sua probabilidade.

Passo 3

A fórmula para a esperança é:
E(X) = sumi xi cdot P(X = xi)
Onde $ x_i $ são os valores possíveis de $ X $ e $ P(X = x_i) $ são as probabilidades associadas a cada valor.

Passo 4

Vamos aplicar os valores fornecidos:
E(X) = 10 cdot 0,2 + 12 cdot 0,3 + 13 cdot 0,4 + 25 cdot 0,1

Passo 5

Calculando cada termo:
10 cdot 0,2 = 2
12 cdot 0,3 = 3,6
13 cdot 0,4 = 5,2
25 cdot 0,1 = 2,5

Passo 6

Somando todos os termos:
E(X) = 2 + 3,6 + 5,2 + 2,5 = 13,3

Passo 7

Agora, vamos calcular a variância $ Var(X) $, que nos ajuda a entender a dispersão dos valores em relação à esperança. A fórmula da variância é:
Var(X)
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $.

Passo 8

Calculando $ E(X^2) $:
E(X^2)
E(X^2) = 10^2 cdot 0,2 + 12^2 cdot 0,3 + 13^2 cdot 0,4 + 25^2 cdot 0,1
E(X^2) = 100 cdot 0,2 + 144 cdot 0,3 + 169 cdot 0,4 + 625 cdot 0,1

Passo 9

Agora, utilizando a fórmula da variância:
Var(X) = 193,3 - (13,3)^2
Var(X) = 193,3 - 176,89 = 16,41

Passo 10

O desvio padrão $ \sigma_X $ é a raiz quadrada da variância:
sigmaX

Resposta

A esperança $ E(X) $ é igual a 13,3 e o desvio padrão $ \sigma_X $ é aproximadamente 4,05.

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