Uma variável aleatória
tem a seguinte função de probabilidade:
|
10 | 12 | 13 | 25 |
---|---|---|---|---|
|
0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
b) a esperança e o desvio padrão da variável aleatória
e
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma variável aleatória $ X $ com os valores 10, 12, 13 e 25, e suas respectivas probabilidades. Nosso objetivo é calcular a esperança matemática $ E(X) $ e o desvio padrão $ \sigma_X $ dessa variável. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística básica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a esperança matemática $ E(X) $. A esperança é a média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, onde cada valor é multiplicado pela sua probabilidade.
Passo 3
A fórmula para a esperança é:
Onde $ x_i $ são os valores possíveis de $ X $ e $ P(X = x_i) $ são as probabilidades associadas a cada valor.
Passo 4
Vamos aplicar os valores fornecidos:
Passo 5
Calculando cada termo:
Passo 6
Somando todos os termos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a variância $ Var(X) $, que nos ajuda a entender a dispersão dos valores em relação à esperança. A fórmula da variância é:
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $.
Passo 8
Calculando $ E(X^2) $:
Passo 9
Agora, utilizando a fórmula da variância:
Passo 10
O desvio padrão $ \sigma_X $ é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A esperança $ E(X) $ é igual a 13,3 e o desvio padrão $ \sigma_X $ é aproximadamente 4,05.