Uma variável aleatória tem f.d.p. triangular dada a seguir
f(x)=rc x, & 0 <= x <= 1 2-x, & 1
a) P(-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a probabilidade de uma variável aleatória $ X $ estar entre X e $ \frac{1}{2} $, usando uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) triangular. Isso significa que a gente vai trabalhar com integrais para encontrar essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função densidade de probabilidade dada:
f(x) = x, & 0 <= x <= 1 2 - x, & 1 < x < 2 0, & caso contrário á
Como queremos $ P(-1 < X < \frac{1}{2}) $, precisamos identificar onde esse intervalo se encaixa na definição da f.d.p.

Passo 3

Observando a f.d.p., vemos que ela é diferente de zero apenas entre 0 e 2. Então, a probabilidade $ P(-1 < X < \frac{1}{2}) $ é a mesma que $ P(0 < X < \frac{1}{2}) $, já que $ X $ não pode ser menor que 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral da f.d.p. de 0 a $ \frac{1}{2} $:
12
Aqui, usamos a parte da f.d.p. onde $ f(x) = x $ para $ 0 \leq x \leq 1 $.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^12 x , dx = [ x^22 ]0^12 = (12)^22 - 0^22 = 142 = 18

Resposta

A probabilidade $ P(-1 < X < \frac{1}{2}) $ é $ \frac{1}{8} $.

Exercícios relacionados