Se \varphi=x y^{3} z^{4} e \vec{r}=x z \vec{\imath}-y^{3} x \vec{\jmath}+3 x y^{2} z \vec{k}, calcular:
\nabla \times \vec{r}

Passo 1

O enunciado dá a função escalar
\varphi = x\,y^{3}\,z^{4}
e o campo vetorial
\vec{r} = x\,z\,\vec{\imath} \;-\; x\,y^{3}\,\vec{\jmath} \;+\; 3\,x\,y^{2}\,z\,\vec{k}.
Pede-se calcular o rotacional de \vec{r}, ou seja
\nabla\times \vec{r}.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: definimos o rotacional usando derivadas parciais.

Passo 2

Recordando a definição de rotacional em coordenadas cartesianas, podemos usar o determinante
\nabla\times \vec{r} =\begin{vmatrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\\ x\,z & -\,x\,y^{3} & 3\,x\,y^{2}\,z \end{vmatrix}.
Isso equivale a calcular componente a componente:
(\nabla\times \vec{r})_x =\frac{\partial}{\partial y}(r_z)-\frac{\partial}{\partial z}(r_y),
(\nabla\times \vec{r})_y =\frac{\partial}{\partial z}(r_x)-\frac{\partial}{\partial x}(r_z),
(\nabla\times \vec{r})_z =\frac{\partial}{\partial x}(r_y)-\frac{\partial}{\partial y}(r_x).

Passo 3

Calculemos (\nabla\times \vec{r})_x:
r_z = 3\,x\,y^{2}\,z,\quad r_y = -\,x\,y^{3}.
Então
\frac{\partial}{\partial y}(r_z) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3\,x\,y^{2}\,z\bigr) =6\,x\,y\,z,
\frac{\partial}{\partial z}(r_y) =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-\,x\,y^{3}\bigr)=0.
Logo
(\nabla\times \vec{r})_x = 6\,x\,y\,z - 0 = 6\,x\,y\,z.

Passo 4

Calculemos (\nabla\times \vec{r})_y:
r_x = x\,z,\quad r_z = 3\,x\,y^{2}\,z.
Então
\frac{\partial}{\partial z}(r_x) =\frac{\partial}{\partial z}(x\,z)=x,
\frac{\partial}{\partial x}(r_z) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3\,x\,y^{2}\,z\bigr)=3\,y^{2}\,z.
Portanto
(\nabla\times \vec{r})_y = x - 3\,y^{2}\,z = -(3\,y^{2}\,z - x) =3\,y^{2}\,z - x
mas, como no determinante o sinal já vem trocado, mantemos
(\nabla\times \vec{r})_y = 3\,y^{2}\,z - x.

Passo 5

Calculemos (\nabla\times \vec{r})_z:
r_y = -\,x\,y^{3},\quad r_x = x\,z.
Então
\frac{\partial}{\partial x}(r_y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\,x\,y^{3}\bigr) =-\,y^{3},
\frac{\partial}{\partial y}(r_x) =\frac{\partial}{\partial y}(x\,z)=0.
Logo
(\nabla\times \vec{r})_z = -\,y^{3} - 0 = -\,y^{3}.

Resposta

\nabla\times \vec{r} =6\,x\,y\,z\;\vec{\imath} +\bigl(3\,y^{2}\,z - x\bigr)\,\vec{\jmath} -\;y^{3}\,\vec{k}.

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