Um vaso, de volume interno de 22,0 m^3, tem um pequeno orifício cujo raio é de 0,050 mm. Se a pressão inicial de nitrogênio no vaso for de 122 kPa e a temperatura, 293 K, em que intervalo de tempo a pressão atingirá 105 kPa?

Passo 1

Então, temos um vaso com volume interno de 22,0 , m^3 que contém nitrogênio a uma pressão inicial de 122 , kPa e temperatura de 293 , K. Esse vaso tem um pequeno orifício com raio de 0,050 , mm. Queremos descobrir quanto tempo levará para a pressão dentro do vaso cair para 105 , kPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos da Lei dos Gases Ideais e da Mecânica dos Fluidos, especificamente a fórmula de vazão através de um orifício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre pressão, volume e temperatura usando a Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de substância (em moles),
  • R é a constante dos gases ( 8,314 , J/(mol cdot K)),
  • T é a temperatura.
Como o volume V e a temperatura T são constantes, podemos dizer que a pressão P é proporcional ao número de mols n:
P propto n

Passo 3

Agora, vamos considerar a vazão de massa através do orifício. A vazão massária ( dotm) pode ser calculada pela fórmula:
dotm = C A raiz2 rho De
Onde:
  • C é o coeficiente de descarga (vamos assumir C = 1 para simplificação),
  • A é a área do orifício,
  • rho é a densidade do nitrogênio,
  • De é a diferença de pressão.
Primeiro, calculamos a área A do orifício:
A = pi r^2 = pi (0,050 times 10^-3 , m)^2 approx 7,85 times 10^-9 , m^2

Passo 4

A densidade rho do nitrogênio pode ser obtida a partir da Lei dos Gases Ideais rearranjada:
rho = PMRT
Onde M é a massa molar do nitrogênio ( 28,0 , g/mol = 0,028 , kg/mol).
Substituindo os valores:
rho = (122,000 , Pa)(0,028 , kg/mol)(8,314 , J/(mol cdot K))(293 , K) approx 1,39 , kg/m^3

Passo 5

A diferença de pressão De inicialmente é:
De
Assumindo que a pressão externa é atmosférica ( 100 , kPa).

Passo 6

Agora, calculamos a vazão massária inicial:
dotm = 1 times 7,85 times 10^-9 , m^2 times raiz2 times 1,39 , kg/m^3 times 22,000 , Pa approx 1,03 times 10^-3 , kg/s

Passo 7

Para encontrar o tempo necessário para a pressão cair de 122 , kPa para 105 , kPa, usamos a relação:
De
Calculando a variação de mols:
De
A massa correspondente:
De

Passo 8

Finalmente, calculamos o tempo t necessário para essa perda de massa:
t = De

Resposta

O intervalo de tempo para que a pressão no vaso atinja 105 , kPa é de aproximadamente 90,3 , segundos.

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