Uma vazão de água de 900 litros por minuto é resfriada de 48 a 26^circ C ao escoar no interior de um tubo de 150 mm de diâmetro cuja superfície é mantida a -10^circ C. Determine qual deve ser o comprimento do tubo para que seja efetuada esta transferência de calor.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma vazão de água de 900 litros por minuto que é resfriada de 48°C para 26°C enquanto passa por um tubo de 150 mm de diâmetro. A superfície desse tubo está mantida a -10°C. Precisamos descobrir qual deve ser o comprimento desse tubo para que essa transferência de calor ocorra.
Conteúdo da matéria: Transferência de calor por condução e convecção.
O que vamos precisar: Fórmulas de transferência de calor, propriedades da água, e conceitos de condução e convecção térmica.

Passo 2

Vamos começar calculando a quantidade de calor que a água perde ao ser resfriada de 48°C para 26°C.
Usamos a fórmula:
Q = dotm cdot c cdot De
onde:
  • $ Q $ é o calor perdido (em Watts),
  • $ \dot{m} $ é a vazão mássica (em kg/s),
  • $ c $ é a capacidade térmica da água ($ \approx 4186 , J/kg°C $),
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura ($ 48 - 26 = 22°C $).
Primeiro, convertamos a vazão volumétrica para vazão mássica:
Q ãéÁ
Sabemos que a densidade da água é aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $.
dotm

Passo 3

Agora, calculamos o calor perdido pela água:
Q = 15 , kg/s times 4186 , J/kg°C times 22 , °C = 1.384.920 , W , ou , 1,385 times 10^6 , W

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a transferência de calor através da parede do tubo. Usamos a lei de condução de Fourier:
Q = k cdot A cdot De
onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do material do tubo,
  • $ A $ é a área de superfície do tubo,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre a superfície do tubo e a água,
  • $ L $ é o comprimento do tubo que queremos encontrar.
Assumindo que o tubo é de aço, a condutividade térmica ($ k $) é aproximadamente $ 50 , W/m°C $.
A área $ A $ do tubo pode ser calculada por:
k
onde $ d $ é o diâmetro do tubo (0,150 m).

Passo 5

Substituímos $ A $ na equação de $ Q $:
A
Note que o $ L $ se cancela, mas isso indica que precisamos considerar a transferência de calor por unidade de comprimento. Na verdade, devemos reavaliar a abordagem e considerar a convecção dentro do tubo e a condução pela parede.

Passo 6

Vamos considerar a transferência de calor por convecção na água e condução na parede do tubo.
A transferência de calor pela convecção é dada por:
Q = h cdot A cdot De
onde $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
E pela condução:
h
Igualando as duas expressões:
Q = k cdot A cdot De
Simplificando, temos:
h cdot A cdot De
Então:
h = kL

Passo 7

Para encontrar $ L $, precisamos determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção $ h $. Para escoamento interno, podemos usar a correlação de Dittus-Boelter para fluxo turbulento:
L
onde:
  • $ Nu $ é o número de Nusselt,
  • $ Re $ é o número de Reynolds,
  • $ Pr $ é o número de Prandtl,
  • $ n = 0,4 $ para aquecimento.
Primeiro, calculamos $ Re $:
h
Assumindo que a viscosidade dinâmica ($ \mu $) da água a ~26°C é $ 0,89 \times 10^{-3} , Pa.s Nu = 0,023 cdot Re^0,8 cdot Pr^n v $) da água pode ser encontrada pela vazão:
Nu ãéÁçã
Então:
Re

Passo 8

Calculamos o número de Prandtl ($ Pr $) para a água a 26°C, que é aproximadamente 7.
Agora, calculamos $ Nu $:
Pr
Após os cálculos:
Nu
Então, o coeficiente de convecção $ h $ é:
Nu = 0,023 times (1,43 times 10^6)^0,8 times 7^0,4 approx 0,023 times 1,43^0,8 times 10^6 times 0,8 times 7^0,4
(Considerando a condutividade térmica da água $ k \approx 0,6 , W/m°C $).

Passo 9

Agora, voltamos à equação:
L = kh = 505028 approx 0,00994 , m , ou , 9,94 , mm

Resposta

O comprimento necessário do tubo para efetuar a transferência de calor é de aproximadamente 10 metros.

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