Uma vazão de água de 900 litros por minuto é resfriada de 48 a
ao escoar no interior de um tubo de 150 mm de diâmetro cuja superfície é mantida a
. Determine qual deve ser o comprimento do tubo para que seja efetuada esta transferência de calor.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma vazão de água de 900 litros por minuto que é resfriada de 48°C para 26°C enquanto passa por um tubo de 150 mm de diâmetro. A superfície desse tubo está mantida a -10°C. Precisamos descobrir qual deve ser o comprimento desse tubo para que essa transferência de calor ocorra.
Conteúdo da matéria: Transferência de calor por condução e convecção.
O que vamos precisar: Fórmulas de transferência de calor, propriedades da água, e conceitos de condução e convecção térmica.
Passo 2
Vamos começar calculando a quantidade de calor que a água perde ao ser resfriada de 48°C para 26°C.
Usamos a fórmula:
onde:
- $ Q $ é o calor perdido (em Watts),
- $ \dot{m} $ é a vazão mássica (em kg/s),
- $ c $ é a capacidade térmica da água ($ \approx 4186 , J/kg°C $),
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura ($ 48 - 26 = 22°C $).
Primeiro, convertamos a vazão volumétrica para vazão mássica:
Sabemos que a densidade da água é aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $.
Passo 3
Agora, calculamos o calor perdido pela água:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a transferência de calor através da parede do tubo. Usamos a lei de condução de Fourier:
onde:
- $ k $ é a condutividade térmica do material do tubo,
- $ A $ é a área de superfície do tubo,
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre a superfície do tubo e a água,
- $ L $ é o comprimento do tubo que queremos encontrar.
Assumindo que o tubo é de aço, a condutividade térmica ($ k $) é aproximadamente $ 50 , W/m°C $.
A área $ A $ do tubo pode ser calculada por:
onde $ d $ é o diâmetro do tubo (0,150 m).
Passo 5
Substituímos $ A $ na equação de $ Q $:
Note que o $ L $ se cancela, mas isso indica que precisamos considerar a transferência de calor por unidade de comprimento. Na verdade, devemos reavaliar a abordagem e considerar a convecção dentro do tubo e a condução pela parede.
Passo 6
Vamos considerar a transferência de calor por convecção na água e condução na parede do tubo.
A transferência de calor pela convecção é dada por:
onde $ h $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
E pela condução:
Igualando as duas expressões:
Simplificando, temos:
Então:
Passo 7
Para encontrar $ L $, precisamos determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção $ h $. Para escoamento interno, podemos usar a correlação de Dittus-Boelter para fluxo turbulento:
onde:
- $ Nu $ é o número de Nusselt,
- $ Re $ é o número de Reynolds,
- $ Pr $ é o número de Prandtl,
- $ n = 0,4 $ para aquecimento.
Primeiro, calculamos $ Re $:
Assumindo que a viscosidade dinâmica ($ \mu $) da água a ~26°C é $ 0,89 \times 10^{-3} , Pa.s
v $) da água pode ser encontrada pela vazão:
Então:
Passo 8
Calculamos o número de Prandtl ($ Pr $) para a água a 26°C, que é aproximadamente 7.
Agora, calculamos $ Nu $:
Após os cálculos:
Então, o coeficiente de convecção $ h $ é:
(Considerando a condutividade térmica da água $ k \approx 0,6 , W/m°C $).
Passo 9
Agora, voltamos à equação:
Resposta
O comprimento necessário do tubo para efetuar a transferência de calor é de aproximadamente 10 metros.