Se \vec{u}=3 \vec{i}-2 \vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=4 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}-\vec{k}, determinar:
(k) (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=3\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k}, \vec{v}=4\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}-\vec{k} e pede para calcular (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}.\n
Informações relevantes extraídas: \vec{u}=(3,-2,-2), \vec{v}=(4,1,-1), \vec{w}=(1,0,-1). A tarefa é primeiro formar \vec{u}\times\vec{v} e depois fazer o produto escalar desse resultado com \vec{w}.

Passo 2

Explicando o que vamos usar (passo a passo, sem pressa): para obter \vec{u}\times\vec{v} usamos a regra do determinante 3×3 que memoriza os componentes do produto vetorial. Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Aqui cada componente é uma diferença de produtos (explicando: o primeiro componente vem do “menor” obtido ao eliminar a linha/coluna do determinante, mas você pode decorar essa fórmula e usá-la diretamente). Depois, o produto escalar entre dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Ou seja, multiplicamos componente a componente e somamos.

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto vetorial com \vec{u}=(3,-2,-2) e \vec{v}=(4,1,-1).
Calcule o primeiro componente:
u_2v_3-u_3v_2 = (-2)\cdot(-1)-(-2)\cdot 1 = 2 - (-2) = 4.
Calcule o segundo componente:
u_3v_1-u_1v_3 = (-2)\cdot 4 - 3\cdot(-1) = -8 -(-3) = -8+3 = -5.
Calcule o terceiro componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 3\cdot 1 - (-2)\cdot 4 = 3 -(-8) = 3+8 = 11.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(4,-5,11).

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de \vec{u}\times\vec{v} com \vec{w}=(1,0,-1). Usando \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=4\cdot 1 + (-5)\cdot 0 + 11\cdot(-1).
Calcule cada termo: 4\cdot 1 = 4, (-5)\cdot 0=0, 11\cdot(-1)=-11. Somando:
4 + 0 - 11 = -7.

Passo 5

Rápida observação útil para a prova: esse número (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} também é chamado de produto misto ou produto triple escalar e equivale ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Se você souber calcular determinantes 3×3, dá para chegar direto ao mesmo -7. É uma ótima checagem rápida se estiver sem tempo.

Resposta

-7

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