A velocidade de fase de uma onda harmônica de flexão em um bastão sólido é
, onde
é a velocidade de fase para ondas longitudinais,
o comprimento de onda, e
o raio de giração da seção reta do bastão em relação a um eixo através do centro e normal ao eixo longitudinal do bastão. Determine a velocidade de grupo para as ondas de flexão e expresse-a em termos da velocidade de fase.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que a fase de uma onda de flexão num bastão tem velocidade
onde
-
é a velocidade de onda longitudinal, -
é o comprimento de onda, -
é o raio de giração da seção.
O que a gente precisa achar é a velocidade de grupo
e escrever ela em função de
. Vamos usar teoria de ondas dispersivas, a relação
e derivadas (regra do quociente).
Passo 2
Primeiro, expressar
em termos do número de onda
. Como
temos
Logo
Passo 3
A relação geral entre
,
e
é
Substituindo nosso
:
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente para
. Definimos
Então
e
Calculando:
Passo 5
Substituindo em
:
Como
, temos
Logo
Passo 6
Repare que
. Portanto
Para voltar em função de
, note que
. Mas uma forma bem enxuta é introduzir
,
de modo que . Assim
de modo que