A velocidade de fase de uma onda harmônica de flexão em um bastão sólido é vp=v / raiz1+lambda^2 / 4 pi^2 K^2, onde v=raizY / rho é a velocidade de fase para ondas longitudinais, lambda o comprimento de onda, e K o raio de giração da seção reta do bastão em relação a um eixo através do centro e normal ao eixo longitudinal do bastão. Determine a velocidade de grupo para as ondas de flexão e expresse-a em termos da velocidade de fase.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a fase de uma onda de flexão num bastão tem velocidade
vp ;=;vraiz1 + dfraclambda^24pi^2K^2,,
onde
  • vg = domegadk é a velocidade de onda longitudinal,
  • é o comprimento de onda,
  • é o raio de giração da seção.
O que a gente precisa achar é a velocidade de grupo
e escrever ela em função de . Vamos usar teoria de ondas dispersivas, a relação e derivadas (regra do quociente).

Passo 2

Primeiro, expressar k = 2pilambda Longrightarrow lambda = 2pik, em termos do número de onda lambda^24pi^2K^2 = (2pi/k)^24pi^2K^2 = 1k^2K^2 . Como
vp = vraiz1 + tfrac1k^2K^2 = vraiztfrack^2K^2+1k^2K^2 = v,kKraizk^2K^2+1
temos
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Passo 3

A relação geral entre omega = k,vp(k) , omega(k) = k ,gl(v,kKraizk^2K^2+1gr) = v,k^2Kraizk^2K^2+1 e é
Substituindo nosso :

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente para A(k) = v,k^2K , B(k) = raizk^2K^2+1 . Definimos
domegadk = A',B ;-; A,B'B^2
Então A' = ddkl(v,k^2Kr) = 2v,k,K, B' = ddkraizk^2K^2+1 = k,K^2raizk^2K^2+1 e
Calculando:

Passo 5

Substituindo em vg = 2v,kK,B ;-; v,k^2K,l(kK^2Br)B^2 = v,K,2kB - tfrack^3K^2BB^2 = v,K,2kB^2 - k^3K^2B^3 :
2kB^2 - k^3K^2 = 2k(k^2K^2+1) - k^3K^2 = k,(k^2K^2+2)
Como vg = v,K,k,(k^2K^2+2)(k^2K^2+1)^3/2 = v,kKraizk^2K^2+1;k^2K^2+2k^2K^2+1 , temos
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Passo 6

Repare que vg = vp;k^2K^2+2k^2K^2+1 . Portanto
vg = vp;1/alpha +21/alpha +1 = vp;1+2alpha1+alpha
Para voltar em função de , note que . Mas uma forma bem enxuta é introduzir
,
de modo que . Assim

Resposta

boxed vg ;=; vp;1 + 2,dfraclambda^24pi^2K^2 1 + dfraclambda^24pi^2K^2 Long<=ftrightarrow vg=vp,1+2alpha1+alpha(alpha=tfraclambda^24pi^2K^2),

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