A velocidade de infiltração da água no solo (v) é dada por v=k cdot t^n, onde k é uma constante, t é o tempo e n é um expoente. Determine as dimensões de k e trace o gráfico de v em função de t para n=0,5.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a velocidade de infiltração no solo é dada por
v = k,t^n
onde
- é velocidade (dimensão de comprimento por tempo),
- é tempo,
- é um expoente (aqui depois vamos usar ),
- e é uma constante cuja dimensão queremos descobrir.
Então, o conteúdo da matéria é “análise dimensional” (pra achar a unidade/dimensão de ) e “gráfico de função potência” (para desenhar versus quando ).

Passo 2

Vamos achar a dimensão de [v] = LT e [t] = T de forma geral.
  1. Primeiro, recorda que [v] = [k],[t]^n
  2. Como LT = [k];(T)^n ;Longrightarrow; [k] = L,T^-1T^n = L;T^-(1+n) , em termos de dimensão isso vira boxed[k] = L,T^-(1+n)
  3. Substituindo
Pronto: em geral

Passo 3

Como o exercício pede também para o caso [k] = L,T^-(1+0,5) = L,T^-1,5 , é só trocar por :

Passo 4

Agora o gráfico de
v(t) = k,t^0,5
é bem característico de raiz quadrada. Se você escolher (só pra esboçar), tem
Em forma de desenho rápido (eixo horizontal é , vertical é ):
   v
   |
 3 |          •
 2 |      •
 1 |  •
 0 +---------------- t
    0  1  4  9  
É uma curva que parte da origem, cresce rápido no começo e vai achatando conforme aumenta (concavidade virada pra baixo).

Resposta

Dimensões de [k] = L,T^-(1+n), logo para n=0,5: ;[k] = L,T^-1,5 :
Gráfico de em função de (para ) é uma raiz quadrada: começa em , sobe rápido e vai achatando.

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