A velocidade v (em \mathrm{m} / \mathrm{s} ) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, t segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela abaixo. Calcule usando um polinômio de 4^{o} grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento. (Use o método de Newton)
tempo (s) 0 8 20 30 45
velocidade (m/s) 0,000 52,032 160,450 175,961 370,276

Passo 1

O enunciado pede para estimar a velocidade do foguete em t=25 s usando um polinômio interpolador de grau 4 obtido pelo método de Newton a partir dos pontos
(0,0{,}000), (8,52{,}032), (20,160{,}450), (30,175{,}961) e (45,370{,}276).

Passo 2

Vamos montar a tabela de diferenças divididas.
\begin{array}{c|ccccc} t_i & f_i & f[t_i,t_{i+1}] & f[t_i,t_{i+1},t_{i+2}] & f[t_i,\dots,t_{i+3}] & f[t_0,\dots,t_{i+4}]\\hline 0 &0{,}000 &6{,}504 &0{,}126542 &-0{,}0155571 &0{,}000823881\\\\ 8 &52{,}032 &9{,}034833 &-0{,}3401706 &0{,}02151757 & \\\\ 20 &160{,}450 &1{,}5511 &0{,}4561293 & & \\\\ 30 &175{,}961 &12{,}95433 & & & \\\\ 45 &370{,}276 & & & & \end{array}

Passo 3

O polinômio de Newton em forma hierárquica é
P_4(t)=f[t_0] +f[t_0,t_1](t-t_0) +f[t_0,t_1,t_2](t-t_0)(t-t_1)\\\ \quad+f[t_0,\dots,t_3](t-t_0)(t-t_1)(t-t_2) +f[t_0,\dots,t_4](t-t_0)(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3).

Passo 4

Agora avaliamos cada termo em t=25:
O primeiro termo é
f[t_0]=0.
O segundo termo é
f[t_0,t_1]\,(25-0) =6{,}504\times25 =162{,}6.
O terceiro termo é
f[t_0,t_1,t_2]\,(25-0)(25-8) =0{,}126542\times25\times17 \approx53{,}78.
O quarto termo é
f[t_0,\dots,t_3]\,(25-0)(25-8)(25-20) =-0{,}0155571\times25\times17\times5 \approx-33{,}06.
O quinto termo é
f[t_0,\dots,t_4]\,(25-0)(25-8)(25-20)(25-30) =0{,}000823881\times25\times17\times5\times(-5) \approx-8{,}75.

Passo 5

Somando tudo,
P_4(25) =0+162{,}6+53{,}78-33{,}06-8{,}75 \approx174{,}57.

Resposta

A velocidade aproximada do foguete em t=25 s é
\boxed{174{,}57\\ \mathrm{m/s}.}

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