Na tabela abaixo, d é a distância, em metros, que uma bala percorre ao longo do cano de um canhão em t segundos. Encontrar a distância percorrida pela bala 5 segundos após ter sido disparada, usando todos os dados abaixo. (Use o método de Gregory-Newton)
t(s) 0 2 4 6 8
d(m) 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

Passo 1

O enunciado nos dá os pares (t,d) igualmente espaçados por h=2 segundos:
\begin{array}{c|ccccc} t & 0 & 2 & 4 & 6 & 8\\hline d & 0{,}000 & 0{,}049 & 0{,}070 & 0{,}087 & 0{,}103 \end{array}
e pede d(5). Vamos usar o método de Gregory-Newton (interpolação de diferenças finitas) para estimar d em t=5.

Passo 2

Calculemos as diferenças finitas rumo a \Delta^4:
\begin{array}{c|ccccc} d & 0{,}000 & 0{,}049 & 0{,}070 & 0{,}087 & 0{,}103\\hline \Delta d & 0{,}049 & 0{,}021 & 0{,}017 & 0{,}016\\\ \Delta^2 d & -0{,}028 & -0{,}004 & -0{,}001\\\ \Delta^3 d & 0{,}024 & 0{,}003\\\ \Delta^4 d & -0{,}021 \end{array}

Passo 3

Definimos
u = \frac{t - t_0}{h} = \frac{5 - 0}{2} = 2{,}5
e o polinômio de Gregory-Newton para d(5) é
d(5)=d_0+u\,\Delta d_0+\frac{u(u-1)}{2!}\,\Delta^2 d_0+\frac{u(u-1)(u-2)}{3!}\,\Delta^3 d_0+\frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{4!}\,\Delta^4 d_0.

Passo 4

Substituindo os valores:
\begin{aligned} d_0&=0{,}000,\\\ \Delta d_0&=0{,}049,\\\ \Delta^2 d_0/2!&=-0{,}028/2=-0{,}014,\\\ \Delta^3 d_0/3!&=0{,}024/6=0{,}004,\\\ \Delta^4 d_0/4!&=-0{,}021/24\approx -0{,}000875. \end{aligned}
Logo cada termo é
\begin{aligned} u\,\Delta d_0 &=2{,}5\times0{,}049=0{,}1225,\\\ \frac{u(u-1)}{2!}\,\Delta^2 d_0 &=2{,}5\times1{,}5\times(-0{,}014)=-0{,}0525,\\\ \frac{u(u-1)(u-2)}{3!}\,\Delta^3 d_0 &=2{,}5\times1{,}5\times0{,}5\times0{,}004=0{,}0075,\\\ \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{4!}\,\Delta^4 d_0 &=2{,}5\times1{,}5\times0{,}5\times(-0{,}5)\times(-0{,}000875)\approx0{,}0008203. \end{aligned}

Passo 5

Somando todos os termos:
d(5)\approx 0 + 0{,}1225 - 0{,}0525 + 0{,}0075 + 0{,}0008203 = 0{,}0783203\text{ m}.

Resposta

A distância percorrida pela bala em t=5 s é aproximadamente 0{,}0783 m.

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