Sabe-se que a função f(x) é um polinômio de 4^{0} grau e que passa pelos pontos: (0,0 ; 1,011),(0,5 ; 1,636),(1,0 ; 11,011) e (1,5 ; 51,636). Determine o polinômio interpolador de Lagrange de maior grau possível.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos
(x_0,y_0)=(0,\,1{,}011),\;(x_1,y_1)=(0{,}5,\,1{,}636),\;(x_2,y_2)=(1,\,11{,}011),\;(x_3,y_3)=(1{,}5,\,51{,}636)
e pede o polinômio interpolador de Lagrange de maior grau possível (grau <=3). O conteúdo é interpolação polinomial usando as bases de Lagrange.

Passo 2

A fórmula geral do polinômio de Lagrange é
f(x)=\sum_{i=0}^{3}y_i\,L_i(x),
onde
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{3}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}.

Passo 3

Calcular os denominadores de cada L_i:
Para i=0 (com x_0=0):
(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)(x_0 - x_3) =(0-0{,}5)(0-1)(0-1{,}5) =(-0{,}5)(-1)(-1{,}5)=-0{,}75.
Para i=1 (com x_1=0{,}5):
(0{,}5-0)(0{,}5-1)(0{,}5-1{,}5) =(0{,}5)(-0{,}5)(-1)=0{,}25.
Para i=2 (com x_2=1):
(1-0)(1-0{,}5)(1-1{,}5) =(1)(0{,}5)(-0{,}5)=-0{,}25.
Para i=3 (com x_3=1{,}5):
(1{,}5-0)(1{,}5-0{,}5)(1{,}5-1) =(1{,}5)(1)(0{,}5)=0{,}75.

Passo 4

Escrever cada L_i(x):
L_0(x)=\frac{(x-0{,}5)(x-1)(x-1{,}5)}{-0{,}75},\quad L_1(x)=\frac{x(x-1)(x-1{,}5)}{0{,}25}, L_2(x)=\frac{x(x-0{,}5)(x-1{,}5)}{-0{,}25},\quad L_3(x)=\frac{x(x-0{,}5)(x-1)}{0{,}75}.

Passo 5

Montar f(x)=\sum y_iL_i(x):
f(x)=1{,}011\,L_0(x)+1{,}636\,L_1(x)+11{,}011\,L_2(x)+51{,}636\,L_3(x).
Substituindo cada L_i(x):
f(x)=1{,}011\,\frac{(x-0{,}5)(x-1)(x-1{,}5)}{-0{,}75} +1{,}636\,\frac{x(x-1)(x-1{,}5)}{0{,}25}
\quad+11{,}011\,\frac{x(x-0{,}5)(x-1{,}5)}{-0{,}25} +51{,}636\,\frac{x(x-0{,}5)(x-1)}{0{,}75}.

Resposta

\boxed{ f(x) =1{,}011\,\frac{(x-0{,}5)(x-1)(x-1{,}5)}{-0{,}75} +1{,}636\,\frac{x(x-1)(x-1{,}5)}{0{,}25} +11{,}011\,\frac{x(x-0{,}5)(x-1{,}5)}{-0{,}25} +51{,}636\,\frac{x(x-0{,}5)(x-1)}{0{,}75} }

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