A velocidade do paraquedista é dada pela seguinte função do tempo:
v(t)=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m))}\right)
onde v é a velocidade [ \mathrm{m} / \mathrm{s} ], g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} é a constante gravitacional, m=76 \mathrm{~kg} é a massa do paraquedista e c=12.7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} é o coeficiente de arrasto. A distância que o paraquedista caiu depois de um certo intervalo de tempo t é dada por:
d=\int_{0}^{t} v(t) d t=\frac{g m}{c} \int_{0}^{t}\left(1-e^{-(c / m)}\right) d t
Calcule quanto o pára-quedista caiu depois de 10 segundos e o erro:
E=\left|d_{\text {exato }}-d\right|
Use Quadratura Gaussiana com n=1 e n=3. n=1 :
d= □ m
E= □ m
n=3:
d= □ m
E= □ m
Passo 1
O enunciado nos dá a velocidade do paraquedista como função do tempo e a distância caída como integral dessa velocidade. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Dados numéricos (fornecidos):
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
m=76\\ \mathrm{kg}.
c=12{,}7\\ \mathrm{kg/s}.
tempo onde queremos a distância: t=10\\ \mathrm{s}.
A função velocidade apresentada no enunciado tem a forma
v(t)=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m))}\right),
que, como está escrita, parece ter um erro de digitação: o expoente deve depender do tempo t. Vou assumir a forma física correta (a forma usual para arrasto linear):
v(t)=\frac{g m}{c}\Bigl(1-e^{-(c/m)\,t}\Bigr).
Vou explicitar essa suposição porque sem o fator t a velocidade seria constante (o que não faz sentido físico aqui).
Calcular d depois de 10 segundos usando Quadratura Gaussiana com n=1 e com n=3.
Calcular o erro absoluto E=\left|d_{\text{exato}}-d_{\text{aprox}}\right| para cada caso, onde d_{\text{exato}} é a integral exata avaliada em t=10\\ \mathrm{s}.
Passo 2
Primeiro vamos obter a expressão exata da integral (para depois comparar com as aproximações). Vou integrar a função exata que assumi:
Esta é a fórmula que usarei para obter d_{\text{exato}} em t=10\\ \mathrm{s}.
Passo 3
Agora avalio numericamente d_{\text{exato}} em t=10\\ \mathrm{s}. Vou calcular passo a passo as constantes para facilitar a conta sem calculadora complexa.
Primeiro defino a=\dfrac{c}{m}=\dfrac{12{,}7}{76}. Numericamente
No nosso caso a=0, b=10, logo \dfrac{b-a}{2}=5 e \dfrac{b+a}{2}=5. Isso significa que os nós x_i padrão em [-1,1] se transformam para t_i=5+5x_i no intervalo [0,10].
Observação prática: para n=1 a quadratura de Gauss usa o nó x_1=0 com peso w_1=2. Isso equivale à regra do ponto médio na forma Gaussiana: a integral aproximada é 10\cdot f(5).
Para n=3 os nós e pesos padrão (Gauss-Legendre) em [-1,1] são:
Interpretação curta: com n=1 (ponto médio/Gauss-1) a aproximação é grosseira e o erro é grande (~30{,}6 m). Com n=3 a Quadratura de Gauss já aproxima muito bem a integral (erro < 1 m), mostrando a eficiência dessa regra com poucos nós para funções suaves.