A velocidade do paraquedista é dada pela seguinte função do tempo:
v(t)=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m))}\right)
onde v é a velocidade [ \mathrm{m} / \mathrm{s} ], g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} é a constante gravitacional, m=76 \mathrm{~kg} é a massa do paraquedista e c=12.7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} é o coeficiente de arrasto. A distância que o paraquedista caiu depois de um certo intervalo de tempo t é dada por:
d=\int_{0}^{t} v(t) d t=\frac{g m}{c} \int_{0}^{t}\left(1-e^{-(c / m)}\right) d t
Calcule quanto o pára-quedista caiu depois de 10 segundos e o erro:
E=\left|d_{\text {exato }}-d\right|
Use Quadratura Gaussiana com n=1 e n=3.
n=1 :
  • d= □ m
  • E= □ m
n=3:
  • d= □ m
  • E= □ m

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade do paraquedista como função do tempo e a distância caída como integral dessa velocidade. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Dados numéricos (fornecidos):
    • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
    • m=76\\ \mathrm{kg}.
    • c=12{,}7\\ \mathrm{kg/s}.
    • tempo onde queremos a distância: t=10\\ \mathrm{s}.
  • A função velocidade apresentada no enunciado tem a forma
    v(t)=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m))}\right),
    que, como está escrita, parece ter um erro de digitação: o expoente deve depender do tempo t. Vou assumir a forma física correta (a forma usual para arrasto linear):
    v(t)=\frac{g m}{c}\Bigl(1-e^{-(c/m)\,t}\Bigr).
    Vou explicitar essa suposição porque sem o fator t a velocidade seria constante (o que não faz sentido físico aqui).
  • A distância caída até o tempo t é definida por
    d=\int_{0}^{t} v(t)\,dt=\frac{g m}{c}\int_{0}^{t}\Bigl(1-e^{-(c/m)\,t}\Bigr)\,dt.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular d depois de 10 segundos usando Quadratura Gaussiana com n=1 e com n=3.
    • Calcular o erro absoluto E=\left|d_{\text{exato}}-d_{\text{aprox}}\right| para cada caso, onde d_{\text{exato}} é a integral exata avaliada em t=10\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro vamos obter a expressão exata da integral (para depois comparar com as aproximações). Vou integrar a função exata que assumi:
v(t)=\frac{g m}{c}\Bigl(1-e^{-(c/m)\,t}\Bigr).
Defino a=\dfrac{c}{m}. Então
d(t)=\frac{g m}{c}\int_{0}^{t}\Bigl(1-e^{-a u}\Bigr)\,du,
onde troquei a variável de integração para u para evitar confusão com o limite superior t.
Calculo a integral interna. Sabendo que \int e^{-a u}\,du = -\dfrac{1}{a}e^{-a u}, temos
\int_{0}^{t}\Bigl(1-e^{-a u}\Bigr)\,du = \Bigl[u + \frac{1}{a}e^{-a u}\Bigr]_{0}^{t} = t + \frac{1}{a}e^{-a t} - \frac{1}{a}.
Simplificando,
\int_{0}^{t}\Bigl(1-e^{-a u}\Bigr)\,du = t - \frac{1}{a}\Bigl(1-e^{-a t}\Bigr).
Assim a expressão exata para a distância é
d_{\text{exato}}(t)=\frac{g m}{c}\,t \;-\; \frac{g m}{c}\cdot\frac{1}{a}\Bigl(1-e^{-a t}\Bigr).
Como a=\dfrac{c}{m}, note que \dfrac{1}{a}=\dfrac{m}{c}. Substituindo:
d_{\text{exato}}(t)=\frac{g m}{c}\,t \;-\; \frac{g m}{c}\cdot\frac{m}{c}\Bigl(1-e^{-(c/m)t}\Bigr).
Ou, simplificando,
d_{\text{exato}}(t)=\frac{g m}{c}\,t \;-\; \frac{g m^{2}}{c^{2}}\Bigl(1-e^{-(c/m)t}\Bigr).
Esta é a fórmula que usarei para obter d_{\text{exato}} em t=10\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Agora avalio numericamente d_{\text{exato}} em t=10\\ \mathrm{s}. Vou calcular passo a passo as constantes para facilitar a conta sem calculadora complexa.
  • Primeiro defino a=\dfrac{c}{m}=\dfrac{12{,}7}{76}. Numericamente
    a\approx 0{,}1671052632\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Calculo o fator \dfrac{g m}{c}:
    \frac{g m}{c}=\frac{9{,}81\cdot 76}{12{,}7}=\frac{745{,}56}{12{,}7}\approx 58{,}7055118\\ \mathrm{m/s}.
    (isto é a velocidade terminal v_{\infty}.)
  • Calculo \dfrac{g m^{2}}{c^{2}}:
    \frac{g m^{2}}{c^{2}} = \frac{9{,}81\cdot 76^{2}}{12{,}7^{2}} \approx 351{,}30965596\\ \mathrm{m}.
  • Calculo e^{-(c/m)t}=e^{-a t} com t=10:
    a t \approx 1{,}6710526316,\qquad e^{-a t}\approx e^{-1{,}6710526316}\approx 0{,}18812\\ (\text{aprox.}).
Agora monto a fórmula:
d_{\text{exato}}(10)=\frac{g m}{c}\cdot 10 \;-\; \frac{g m^{2}}{c^{2}}\Bigl(1-e^{-a\cdot 10}\Bigr).
Substituindo os números aproximados:
d_{\text{exato}}(10)\approx 58{,}7055118\cdot 10 \;-\; 351{,}30965596\cdot(1-0{,}18812).
Faço as contas:
58{,}7055118\cdot 10 \approx 587{,}055118,
1-e^{-a\cdot 10}\approx 1-0{,}18812 = 0{,}81188,
351{,}30965596\cdot 0{,}81188 \approx 285{,}220402.
Então
d_{\text{exato}}(10)\approx 587{,}055118 - 285{,}220402 \approx 301{,}834716\\ \mathrm{m}.
Guardo este valor para comparar com as aproximações de Gauss.

Passo 4

Breve explicação didática sobre Quadratura Gaussiana (essencial para aplicar o método): a Quadratura de Gauss-Legendre aproxima
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\,f(x_i),
onde x_i são os nós e w_i os pesos específicos para o grau n. Para um intervalo genérico [a,b] usa-se a mudança linear de variável
x=\frac{2t-(b+a)}{b-a}\quad\Longleftrightarrow\quad t=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}\,x,
e então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1} f\Bigl(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}x\Bigr)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\,f\Bigl(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}x_i\Bigr).
No nosso caso a=0, b=10, logo \dfrac{b-a}{2}=5 e \dfrac{b+a}{2}=5. Isso significa que os nós x_i padrão em [-1,1] se transformam para t_i=5+5x_i no intervalo [0,10].
Observação prática: para n=1 a quadratura de Gauss usa o nó x_1=0 com peso w_1=2. Isso equivale à regra do ponto médio na forma Gaussiana: a integral aproximada é 10\cdot f(5).
Para n=3 os nós e pesos padrão (Gauss-Legendre) em [-1,1] são:
  • x_1=0, w_1=\dfrac{8}{9}.
  • x_{2}=\sqrt{\dfrac{3}{5}}\approx 0{,}7745966692, w_{2}=\dfrac{5}{9}.
  • x_{3}=-\sqrt{\dfrac{3}{5}}\approx -0{,}7745966692, w_{3}=\dfrac{5}{9}.
Transformando para o intervalo [0,10]:
t_1=5,\quad t_2=5+5\cdot 0{,}7745966692\approx 8{,}8729833462,\quad t_3=5-5\cdot 0{,}7745966692\approx 1{,}1270166538.

Passo 5

Aplicação prática: cálculo da aproximação com n=1.
  • Fórmula (para [0,10] com n=1):
    d_{n=1} \approx \frac{10-0}{2}\cdot w_1\cdot v\bigl(5\bigr) = 5\cdot 2\cdot v(5) = 10\,v(5).
  • Calculo v(5):
    v(5)=\frac{g m}{c}\Bigl(1-e^{-a\cdot 5}\Bigr),
    com a\approx 0{,}1671052632. Então a\cdot 5\approx 0{,}835526316 e
    e^{-a\cdot 5}\approx e^{-0{,}835526316}\approx 0{,}4338\\ (\text{aprox.}).
    Logo
    v(5)\approx 58{,}7055118\cdot(1-0{,}4338)\approx 58{,}7055118\cdot 0{,}5662 \approx 33{,}240651.
  • Portanto
    d_{n=1}\approx 10\cdot 33{,}240651 \approx 332{,}40651\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Erro para n=1:
E_{n=1}=\bigl|d_{\text{exato}}(10)-d_{n=1}\bigr| \approx \bigl|301{,}834716 - 332{,}406510\bigr| \approx 30{,}571794\\ \mathrm{m}.
Vou arredondar os resultados finais com precisão razoável (três casas decimais) na resposta final.

Passo 7

Agora aplico a Quadratura de Gauss com n=3.
Fórmula para [0,10]:
d_{n=3} \approx \frac{10-0}{2}\sum_{i=1}^{3} w_i\,v\bigl(5+5x_i\bigr) =5\Bigl(\frac{8}{9}v(5)+\frac{5}{9}v(t_2)+\frac{5}{9}v(t_3)\Bigr).
Onde já calculei t_1=5, t_2\approx 8{,}8729833462, t_3\approx 1{,}1270166538.
  • Já temos v(5)\approx 33{,}240651.
  • Calculo v(t_2):
    a t_2 \approx 0{,}1671052632\cdot 8{,}8729833462 \approx 1{,}48244\quad\Rightarrow\quad e^{-a t_2}\approx 0{,}2274.
    Então
    v(t_2)\approx 58{,}7055118\cdot(1-0{,}2274)\approx 58{,}7055118\cdot 0{,}7726 \approx 45{,}3629.
  • Calculo v(t_3):
    a t_3 \approx 0{,}1671052632\cdot 1{,}1270166538 \approx 0{,}188\quad\Rightarrow\quad e^{-a t_3}\approx 0{,}8285.
    Então
    v(t_3)\approx 58{,}7055118\cdot(1-0{,}8285)\approx 58{,}7055118\cdot 0{,}1715 \approx 10{,}06799.
  • Agora insiro na fórmula:
    d_{n=3}\approx 5\Bigl(\tfrac{8}{9}\cdot 33{,}240651 + \tfrac{5}{9}\cdot 45{,}3629 + \tfrac{5}{9}\cdot 10{,}06799\Bigr).
Faço os cálculos internos:
\tfrac{8}{9}\cdot 33{,}240651 \approx 29{,}767245,
\tfrac{5}{9}\cdot(45{,}3629+10{,}06799)=\tfrac{5}{9}\cdot 55{,}43089 \approx 30{,}795024.
Somando e multiplicando por 5:
d_{n=3}\approx 5\cdot(29{,}767245+30{,}795024)\approx 5\cdot 60{,}562269 \approx 302{,}811345\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Erro para n=3:
E_{n=3}=\bigl|d_{\text{exato}}(10)-d_{n=3}\bigr| \approx \bigl|301{,}834716 - 302{,}811345\bigr| \approx 0{,}976629\\ \mathrm{m}.
Interpretação curta: com n=1 (ponto médio/Gauss-1) a aproximação é grosseira e o erro é grande (~30{,}6 m). Com n=3 a Quadratura de Gauss já aproxima muito bem a integral (erro < 1 m), mostrando a eficiência dessa regra com poucos nós para funções suaves.

Resposta

n=1:\n- d=332{,}407\\ \mathrm{m}\n- E=30{,}572\\ \mathrm{m}\n n=3:\n- d=302{,}811\\ \mathrm{m}\n- E=0{,}977\\ \mathrm{m}

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