A velocidade de uma partícula pode ser descrita pela função v(t)=\frac{1}{2}t^{2}-2\sqrt{t}+2, onde v é a velocidade em metros por segundos e t é o tempo, em segundos, a partir do início do movimento. Se em t = 1 s a partícula se encontrava na posição 2 m, é possível afirmar que em t = 9 s, ela estará na posição:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a velocidade de uma partícula que muda com o tempo. A função que descreve essa velocidade é $ v(t) = \frac{1}{2}t^{2} - 2\sqrt{t} + 2 $, onde $ v $ está em metros por segundo e $ t $ em segundos. Queremos descobrir a posição da partícula no tempo $ t = 9 $ segundos, sabendo que em $ t = 1 $ segundo, ela estava na posição 2 metros.
Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente a integração, porque a posição é a integral da velocidade ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição $ x(t) $ é a integral da velocidade $ v(t) $. Ou seja:
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a informação que temos.
Passo 3
Vamos integrar cada termo da função $ v(t) $:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos usar a informação que em $ t = 1 $ segundo, $ x = 2 $ metros para encontrar $ C $:
Simplificando:
Vamos converter tudo para frações com denominador 6 para facilitar:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ C $, podemos escrever a função completa da posição:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a posição em $ t = 9 $ segundos substituindo na função $ x(t) $:
Calculando passo a passo:
Então:
Simplificando:
Resposta
A posição da partícula em $ t = 9 $ segundos é 104 $ \frac{2}{3} $ metros.