A velocidade de uma partícula pode ser descrita pela função v(t)=\frac{1}{2}t^{2}-2\sqrt{t}+2, onde v é a velocidade em metros por segundos e t é o tempo, em segundos, a partir do início do movimento. Se em t = 1 s a partícula se encontrava na posição 2 m, é possível afirmar que em t = 9 s, ela estará na posição:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a velocidade de uma partícula que muda com o tempo. A função que descreve essa velocidade é $ v(t) = \frac{1}{2}t^{2} - 2\sqrt{t} + 2 $, onde $ v $ está em metros por segundo e $ t $ em segundos. Queremos descobrir a posição da partícula no tempo $ t = 9 $ segundos, sabendo que em $ t = 1 $ segundo, ela estava na posição 2 metros.
Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente a integração, porque a posição é a integral da velocidade ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição $ x(t) $ é a integral da velocidade $ v(t) $. Ou seja:
x(t)
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a informação que temos.

Passo 3

Vamos integrar cada termo da função $ v(t) $:
v(t)
integral 12t^2 , dt = 16t^3
integral -2raizt , dt = -2 cdot 23t^3/2 = -43t^3/2
Então, juntando tudo:
integral 2 , dt = 2t

Passo 4

Agora, vamos usar a informação que em $ t = 1 $ segundo, $ x = 2 $ metros para encontrar $ C $:
t = 1
Simplificando:
x = 2
Vamos converter tudo para frações com denominador 6 para facilitar:
C
2 = 16(1)^3 - 43(1)^3/2 + 2(1) + C
Então:
2 = 16 - 43 + 2 + C

Passo 5

Agora que temos $ C $, podemos escrever a função completa da posição:
C

Passo 6

Por fim, vamos calcular a posição em $ t = 9 $ segundos substituindo na função $ x(t) $:
t = 9
Calculando passo a passo:
x(t)
x(9) = 16(9)^3 - 43(9)^3/2 + 2(9) + 76
Então:
(9)^3 = 729
Simplificando:
(9)^3/2 = 27
x(9) = 7296 - 4 times 273 + 18 + 76

Resposta

A posição da partícula em $ t = 9 $ segundos é 104 $ \frac{2}{3} $ metros.

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