A velocidade de uma partícula é v=5 t+1, com t em segundos e v em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Sabendo que a partícula parte da origem, calcule:
Nota: O separador decimal reconhecido pelo sistema é o PONTO “.”, não utilize a vírgula!
O deslocamento da partícula até o tempo \mathrm{t}=6 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula como v=5\,t+1, com t em segundos e v em \mathrm{m/s}. A partícula parte da origem, isto é, a posição inicial é s(0)=0. A pergunta é: qual é o deslocamento da partícula até o tempo t=6\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Entendimento físico e matemático do que devemos calcular: a velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição s(t) em relação ao tempo, ou seja
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Para obter o deslocamento (variação da posição) entre dois instantes, usamos a integral da velocidade no intervalo de tempo correspondente. Em símbolos, o deslocamento de t=0 até t=T é
\Delta s = \int_{0}^{T} v(t)\,dt.
Aqui vamos aplicar isso com T=6. Uma pequena explicação sobre integrais/antiderivadas: integrar uma função é encontrar outra função cuja derivada seja a função original. Por exemplo, a antiderivada de t é \tfrac{1}{2}t^2 porque \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}t^2\big)=t.

Passo 3

Vamos encontrar uma antiderivada de v(t)=5t+1. Usando regras básicas:
  • \displaystyle \int t\,dt = \frac{1}{2}t^2,
  • \displaystyle \int 1\,dt = t,
    e a integral é linear, então
\int (5t+1)\,dt = 5\int t\,dt + \int 1\,dt = 5\cdot\frac{1}{2}t^2 + t + C.
Assim uma expressão para a posição é
s(t)=\frac{5}{2}t^2 + t + C,
onde C é a constante de integração (representa a posição em t=0).

Passo 4

Usamos a condição inicial: a partícula parte da origem, então s(0)=0. Substituindo t=0 em s(t):
s(0)=\frac{5}{2}\cdot 0^2 + 0 + C = C = 0.
Portanto C=0 e
s(t)=\frac{5}{2}t^2 + t.

Passo 5

Agora calculamos o deslocamento até t=6\\ \mathrm{s} substituindo t=6 em s(t):
s(6)=\frac{5}{2}\cdot 6^2 + 6.
Calcule passo a passo:
6^2=36,
\frac{5}{2}\cdot 36 = 5\cdot 18 = 90,
90 + 6 = 96.
O resultado tem unidade de metros, porque integrámos uma velocidade em \mathrm{m/s} ao longo do tempo em \mathrm{s}.

Resposta

96\\ \mathrm{m}

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