A velocidade resultante de um barco que veleja em direção das águas de um rio é de 4m/s. Sabendo que a velocidade das águas é de 8m/s, o ângulo formado entre a velocidade do rio e a velocidade do barco são iguais a:
A)180°
B)90°
C)45°
D)60°
E)30°
A)180°
B)90°
C)45°
D)60°
E)30°
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade resultante de um barco que está navegando contra a corrente de um rio. A gente sabe que a velocidade final (resultante) do barco em relação à margem é de 4 m/s e que a corrente do rio tem uma velocidade de 8 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o ângulo entre a direção que o barco está apontando e a direção da corrente do rio. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de vetores e trigonometria, especialmente a Lei dos Cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a velocidade do rio ($ \vec{V_r}
\vec{V_b} $), que está formando um certo ângulo $ \theta $ com a direção do rio. A velocidade resultante ($ \vec{V_{res}} $) é a soma vetorial dessas duas velocidades, e sabemos que ela é de 4 m/s.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com o ângulo entre eles. A fórmula é:
Sabemos que:
- $ |\vec{V_{res}}| = 4 $ m/s
- $ |\vec{V_r}| = 8 $ m/s
- $ |\vec{V_b}| $ é a velocidade do barco que precisamos descobrir.
Passo 4
Vamos substituir os valores que conhecemos na fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Aqui percebemos que temos duas incógnitas: $ |\vec{V_b}| $ e $ \theta $. Para resolver isso, vamos fazer uma suposição comum: o barco está navegando perpendicularmente à corrente, ou seja, $ \theta = 90° $. Vamos testar essa hipótese.
Substituindo $ \theta = 90° $ na equação:
Então:
Como o quadrado de uma velocidade não pode ser negativo, nossa suposição está errada. Isso significa que o ângulo não pode ser 90°.
Passo 6
Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que a velocidade resultante é menor que a velocidade da corrente, isso indica que o barco está indo contra a corrente. Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ \cos(\theta) $:
Sem mais informações sobre $ |\vec{V_b}| $, fica complicado resolver diretamente. Então, vamos pensar no inverso: qual ângulo faria a velocidade resultante ser menor que as demais?
Passo 7
Parece que, na verdade, o ângulo que faz a velocidade resultante ser menor ocorre quando o barco está apontando diretamente contra a corrente, ou seja, $ \theta = 180° $. Vamos verificar:
Substituindo $ \theta = 180° $:
Então:
Resolver essa equação quadrática:
Como a velocidade do barco não pode ser menor que a velocidade resultante, descartamos 4 m/s. Então, $ |\vec{V_b}| = 12 $ m/s.
Resposta
O ângulo formado entre a velocidade do rio e a velocidade do barco é 180°.