A velocidade resultante de um barco que veleja em direção das águas de um rio é de 4m/s. Sabendo que a velocidade das águas é de 8m/s, o ângulo formado entre a velocidade do rio e a velocidade do barco são iguais a:
A)180°
B)90°
C)45°
D)60°
E)30°

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade resultante de um barco que está navegando contra a corrente de um rio. A gente sabe que a velocidade final (resultante) do barco em relação à margem é de 4 m/s e que a corrente do rio tem uma velocidade de 8 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o ângulo entre a direção que o barco está apontando e a direção da corrente do rio. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de vetores e trigonometria, especialmente a Lei dos Cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a velocidade do rio ($ \vec{V_r} Vr ééó \vec{V_b} $), que está formando um certo ângulo $ \theta $ com a direção do rio. A velocidade resultante ($ \vec{V_{res}} $) é a soma vetorial dessas duas velocidades, e sabemos que ela é de 4 m/s.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com o ângulo entre eles. A fórmula é:
|Vres|^2 = |Vb|^2 + |Vr|^2 + 2 cdot |Vb| cdot |Vr| cdot cos(theta)
Sabemos que:
  • $ |\vec{V_{res}}| = 4 $ m/s
  • $ |\vec{V_r}| = 8 $ m/s
  • $ |\vec{V_b}| $ é a velocidade do barco que precisamos descobrir.

Passo 4

Vamos substituir os valores que conhecemos na fórmula:
4^2 = |Vb|^2 + 8^2 + 2 cdot |Vb| cdot 8 cdot cos(theta)
Simplificando:
16 = |Vb|^2 + 64 + 16 cdot |Vb| cdot cos(theta)

Passo 5

Aqui percebemos que temos duas incógnitas: $ |\vec{V_b}| $ e $ \theta $. Para resolver isso, vamos fazer uma suposição comum: o barco está navegando perpendicularmente à corrente, ou seja, $ \theta = 90° $. Vamos testar essa hipótese.
Substituindo $ \theta = 90° $ na equação:
|Vb|
Então:
theta
theta = 90°
theta = 90°
Como o quadrado de uma velocidade não pode ser negativo, nossa suposição está errada. Isso significa que o ângulo não pode ser 90°.

Passo 6

Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que a velocidade resultante é menor que a velocidade da corrente, isso indica que o barco está indo contra a corrente. Vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ \cos(\theta) $:
cos(theta)
|Vres|^2 = |Vb|^2 + |Vr|^2 + 2 cdot |Vb| cdot |Vr| cdot cos(theta)
Sem mais informações sobre $ |\vec{V_b}| $, fica complicado resolver diretamente. Então, vamos pensar no inverso: qual ângulo faria a velocidade resultante ser menor que as demais?

Passo 7

Parece que, na verdade, o ângulo que faz a velocidade resultante ser menor ocorre quando o barco está apontando diretamente contra a corrente, ou seja, $ \theta = 180° $. Vamos verificar:
Substituindo $ \theta = 180° $:
theta = 180°
Então:
theta = 180°
cos(180°) = -1
16 = |Vb|^2 + 64 + 2 cdot |Vb| cdot 8 cdot (-1)
Resolver essa equação quadrática:
16 = |Vb|^2 + 64 - 16 cdot |Vb|
|Vb|^2 - 16 cdot |Vb| + 48 = 0
|Vb| = 16 pm raiz256 - 1922
|Vb| = 16 pm raiz642
Como a velocidade do barco não pode ser menor que a velocidade resultante, descartamos 4 m/s. Então, $ |\vec{V_b}| = 12 $ m/s.

Resposta

O ângulo formado entre a velocidade do rio e a velocidade do barco é 180°.

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