O que vem a ser um valor esperado de uma variável aleatória.

Passo 1

O enunciado pergunta “o que vem a ser o valor esperado de uma variável aleatória”. Esse conceito faz parte da teoria de probabilidade e estatística, e para entendê-lo vamos recorrer à definição formal tanto no caso discreto quanto no caso contínuo.

Passo 2

Suponha que X seja uma variável aleatória discreta que assume valores \{x_i\} com probabilidades p_X(x_i)=P(X=x_i). O valor esperado de X, denotado por E[X] ou \mu_X, é a média ponderada desses valores segundo suas probabilidades. Em bloco:
E[X] \;=\;\sum_{i} x_i\,p_X(x_i).

Passo 3

Se X for uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f_X(x), então o valor esperado é a integral que pondera cada x por sua “densidade”:
E[X] \;=\;\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.

Passo 4

Para que essas somas ou integrais façam sentido, é preciso que a série \sum_i |x_i|\,p_X(x_i) ou a integral \int_{-\infty}^\infty |x|\,f_X(x)\,dx convirjam. Intuitivamente, E[X] representa a média de longo prazo de X se o experimento for repetido muitas vezes, servindo como medida de tendência central da distribuição de probabilidade.

Resposta

O valor esperado de uma variável aleatória é a média ponderada de seus possíveis valores segundo suas probabilidades, dado por
E[X] = \begin{cases} \displaystyle \sum_{i} x_i\,p_X(x_i), &\text{se \(X\) for discreta},\\[1em] \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx, &\text{se \(X\) for contínua}, \end{cases}í
e representa a tendência central ou o valor médio que X assume em muitas repetições do experimento.]

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