1. Um vendedor de automóveis é autorizado a levar apenas um cliente por dia para testar o carro (test drive) e então seleciona cuidadosamente os clientes. Entre eles, 20% decidem comprar o carro. Quando completa uma venda, a probabilidade de que o vendedor comemore em um restaurante é 90 %. Mesmo quando não completa a venda, ele pode ir ao restaurante com probabilidade de 40 %. Se o vendedor for visto no restaurante, qual a probabilidade que ele tenha vendido um carro?
Resposta: 0.36

Passo 1

Então, olha só o enunciado: um vendedor leva um cliente por dia para test drive e, entre eles, 20 % compram o carro. Quando ele vende, vai ao restaurante com probabilidade 90 %; quando não vende, vai com probabilidade 40 %. A pergunta é: se o vendedor for visto no restaurante, qual a chance de ele ter vendido um carro?
Matéria: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  1. Definir eventos;
  2. Usar a lei da probabilidade total para achar P(R);
  3. Aplicar a fórmula de Bayes para achar P(Vmid R).

Passo 2

Definindo os eventos:
V = “venda foi feita”
R = “vendedor vai ao restaurante”
Do enunciado temos:
P(V)=0.2, P(V^c)=0.8
P(Rmid V)=0.9, P(Rmid V^c)=0.4
Aqui P(Rmid V) é a probabilidade de ir ao restaurante sabendo que vendeu, e P(Rmid V^c) é a de ir sabendo que não vendeu.

Passo 3

Antes de usar Bayes, precisamos de P(R) (chance de ir ao restaurante em geral). Para isso usamos a lei da probabilidade total, que diz que se R pode ocorrer no caso de venda ou no de não-venda (dois cenários exaustivos e mutuamente exclusivos), então:
P(R)=P(Rmid V),P(V);+;P(Rmid V^c),P(V^c)
Substituindo os valores:
P(R)=0.9times0.2 + 0.4times0.8 = 0.18 + 0.32 = 0.5

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes, que dá a probabilidade inversa:
P(Vmid R) ;=;P(Rmid V),P(V)P(R)
Substituindo:
P(Vmid R) = 0.9times0.20.5 = 0.180.5 = 0.36

Resposta

0.36

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