9- Um vendedor que possui uma dívida de \mathrm{R} \ 5.000,00 para ser paga daqui a dois meses, propõe a substituição dessa dívida pelo pagamento imediato de Rõçãí2.100,00 mais outro de R3.500,00 . Em quanto tempo o novo pagamento será efetuado, se for usada a taxa composta deá3,4 %$ ao mês e a data focal zero?

Passo 1

O enunciado diz que existe uma dívida de R$ 5000,00 a ser paga em 2 meses. O vendedor quer quitá-la trocando por um pagamento imediato de R$ 2100,00 e outro de R$ 3500,00 numa data desconhecida t (meses depois de hoje). A taxa de juros composta é de 3,4\% ao mês e a data focal é zero (hoje). Vamos usar o conceito de equivalência de capitais ao valor presente: o valor presente da dívida original deve igualar o valor presente dos novos pagamentos.

Passo 2

Calcular o valor presente da dívida original:
PV_{\text{dívida}} = \frac{5000}{(1 + i)^2},í
onde i = 3,4\% = 0,034.
O valor presente do pagamento imediato de R$ 2100,00 é simplesmente
PV_1 = 2100.
O valor presente do pagamento de R$ 3500,00 na época t é
PV_2 = \frac{3500}{(1 + i)^{t}}.

Passo 3

Impor equivalência ao valor presente:
PV_1 + PV_2 = PV_{\text{dívida}} \quad\Longrightarrow\quad 2100 + \frac{3500}{(1{+}0,034)^{t}} = \frac{5000}{(1{+}0,034)^{2}}.í
Primeiro calculemos numericamente \frac{5000}{(1{+}0,034)^{2}}:
(1{+}0,034)^{2} = 1,069156 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5000}{1,069156}\approx 4675{,}4.
Subtraindo 2100 de ambos os lados:
\frac{3500}{(1{+}0,034)^{t}} = 4675{,}4 - 2100 = 2575{,}4.
Então
\frac{1}{(1{+}0,034)^{t}} = \frac{2575{,}4}{3500}\approx 0,7358 \quad\Longrightarrow\quad (1{+}0,034)^{t} \approx \frac{1}{0,7358}\approx 1,359.

Passo 4

Para achar t, aplicamos logaritmo:
t = \frac{\ln(1,359)}{\ln(1,034)}.
Calculando:
\ln(1,359)\approx 0,3076, \quad \ln(1,034)\approx 0,0334 \quad\Longrightarrow\quad t\approx \frac{0,3076}{0,0334}\approx 9{,}2.

Resposta

O pagamento de R$ 3500,00 será efetuado em aproximadamente 9,2 meses.

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