Verdadeiro ou falso: dê um contra-exemplo nas afirmações falsas.
Se ||\vec{u}||=||\vec{v}||, então \vec{u}=\vec{v}.

Passo 1

O enunciado pergunta se, em um espaço vetorial com norma, a igualdade de comprimentos \|\vec u\| = \|\vec v\|
implica necessariamente que \vec u = \vec v.
O conteúdo aqui é a propriedade da norma: ela mede apenas o módulo (comprimento) do vetor, não sua direção.

Passo 2

Sabemos da teoria de normas que \|\vec u\| = \|\vec v\|
significa que \vec u e \vec v têm o mesmo comprimento, mas não diz nada sobre suas direções. Logo, vetores diferentes podem ter norma igual.

Passo 3

Como contra-exemplo, escolhemos \vec u = (1,0)
e \vec v = (0,1).
Calculamos \|\vec u\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1
e \|\vec v\| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1,
porém claramente \vec u \neq \vec v.

Resposta

Falso. Um contra-exemplo é \vec u=(1,0) e \vec v=(0,1), pois ambos têm norma 1 mas não são iguais.

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