Verdadeiro ou falso: dê um contra-exemplo nas afirmações falsas.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, em um espaço vetorial com norma, a igualdade de comprimentos
implica necessariamente que .
O conteúdo aqui é a propriedade da norma: ela mede apenas o módulo (comprimento) do vetor, não sua direção.
implica necessariamente que
O conteúdo aqui é a propriedade da norma: ela mede apenas o módulo (comprimento) do vetor, não sua direção.
Passo 2
Sabemos da teoria de normas que
significa que e
têm o mesmo comprimento, mas não diz nada sobre suas direções. Logo, vetores diferentes podem ter norma igual.
significa que
Passo 3
Como contra-exemplo, escolhemos
e .
Calculamos
e ,
porém claramente .
e
Calculamos
e
porém claramente
Resposta
Falso. Um contra-exemplo é
e
, pois ambos têm norma
mas não são iguais.