É verdadeiro ou falso?
Se
e a convergência é uniforme, então
.
Se
Passo 1
O enunciado considera a série de Fourier-seno para a função
e afirma que, se essa série converge uniformemente, então os coeficientes são dados por
O conteúdo aqui é a ortogonalidade das funções
no intervalo
e a possibilidade de integrar termo a termo graças à convergência uniforme.
Passo 2
Avaliamo-os em
. Como
, temos
Ou seja,
está expandida exatamente nessa base de senos.
Passo 3
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
e integramos de
a
. Pela ortogonalidade,
E, devido à convergência uniforme, podemos trocar soma e integral:
Passo 4
Isolando
na última igualdade, obtemos
Como isso vale para todo
, concluímos que a fórmula dada está correta.
Resposta
Verdadeiro.