É verdadeiro ou falso?
Se u(x, t)=sumn=1^+infty cn e^-pi^2 alpha^2 n^2 t / L^2 sen pi n xL e a convergência é uniforme, então cn=2L integral0^L u(x, 0) sen pi n xL d x.

Passo 1

O enunciado considera a série de Fourier-seno para a função
u(x,t)=sumn=1^inftycn,e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2senpi n xL
e afirma que, se essa série converge uniformemente, então os coeficientes são dados por
cn=2Lintegral0^Lu(x,0),senpi n xL,dx
O conteúdo aqui é a ortogonalidade das funções sen(pi n x/L) no intervalo [0,L] e a possibilidade de integrar termo a termo graças à convergência uniforme.

Passo 2

Avaliamo-os em t=0. Como e^-pi^2alpha^2n^2cdot0/L^2=1, temos
u(x,0)=sumn=1^inftycn,sinpi n xL
Ou seja, u(x,0) está expandida exatamente nessa base de senos.

Passo 3

Para isolar cm, multiplicamos ambos os lados por sen(pi m x/L) e integramos de 0 a L. Pela ortogonalidade,
integral0^Lsenpi n xL,senpi m xL,dx = 0,&nneq m, L2,&n=m
E, devido à convergência uniforme, podemos trocar soma e integral:
integral0^Lu(x,0),senpi m xL,dx =sumn=1^inftycn integral0^Lsenpi n xL,senpi m xL,dx =,cm,L2

Passo 4

Isolando cm na última igualdade, obtemos
cm=2Lintegral0^Lu(x,0),senpi m xL,dx
Como isso vale para todo m, concluímos que a fórmula dada está correta.

Resposta

Verdadeiro.

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