É verdadeiro ou falso?
Se u(x, t)=sumn=1^+infty cn e^-pi^2 alpha^2 n^2 t / L^2 sen pi n xL e a convergência é uniforme, então alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t e u(0, t)=u(L, t)=0.

Passo 1

O enunciado dá a série de Fourier-seno
u(x,t)=sumn=1^inftycn,e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2sin!l(tfracpi n xLr)
e afirma que a convergência é uniforme. Queremos mostrar que, sob essa hipótese, podemos diferenciar termo a termo em x e em t para obter
alpha^2partial^2upartial x^2=partial upartial t
e também que u(0,t)=u(L,t)=0. O conteúdo é a validade da diferenciação termo a termo em séries uniformemente convergentes e a verificação da condição de contorno de Dirichlet.

Passo 2

Como a série converge uniformemente, podemos trocar soma e derivada em x. Calculamos
partial^2partial x^2sin!l(tfracpi n xLr) =-l(tfracpi nLr)^2sin!l(tfracpi n xLr)
Logo
partial^2upartial x^2 =sumn=1^inftycn,e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2 l(-(tfracpi nL)^2sin(tfracpi n xL)r)

Passo 3

Agora derivamos termo a termo em t:
partialpartial tl(e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2r) =-pi^2alpha^2n^2L^2,e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2
Assim
partial upartial t =sumn=1^inftycn,l(-tfracpi^2alpha^2n^2L^2r) ,e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2sin!l(tfracpi n xLr)

Passo 4

Multiplicando partial^2u/partial x^2 por alpha^2 temos
alpha^2partial^2upartial x^2 =sumn=1^inftycn,l(-tfracpi^2alpha^2n^2L^2r) ,e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2sin!l(tfracpi n xLr),
que coincide exatamente com partial u/partial t. Portanto a equação do calor
alpha^2partial^2upartial x^2=partial upartial t
fica satisfeita.

Passo 5

Para x=0 e x=L vale
sin!l(tfracpi ncdot 0Lr)=0, sin!l(tfracpi ncdot LLr)=sin(npi)=0,
em cada índice n. Logo
u(0,t)=u(L,t)=0

Resposta

Verdadeiro.

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