É verdadeiro ou falso?
Se
sen
e a convergência é uniforme, então
e
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a série de Fourier-seno
e afirma que a convergência é uniforme. Queremos mostrar que, sob essa hipótese, podemos diferenciar termo a termo em
e em
para obter
e também que
. O conteúdo é a validade da diferenciação termo a termo em séries uniformemente convergentes e a verificação da condição de contorno de Dirichlet.
Passo 2
Como a série converge uniformemente, podemos trocar soma e derivada em
. Calculamos
Logo
Passo 3
Agora derivamos termo a termo em
:
Assim
Passo 4
Multiplicando
por
temos
que coincide exatamente com
. Portanto a equação do calor
fica satisfeita.
Passo 5
Para
e
vale
em cada índice
. Logo
Resposta
Verdadeiro.