É verdadeiro ou falso?
Se u(x, y)=X(x) Y(y), então partial^2 upartial x partial y=X^prime(x) Y^prime(y).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de duas variáveis que separa variáveis, isto é
u(x,y)=X(x),Y(y),
e pergunta se o derivado misto
partial^2upartial xpartial y
é igual a
X'(x),Y'(y). Para resolver precisamos aplicar definição de derivada parcial e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro computamos a derivada parcial de u em relação a x, tratando y como constante. Como Y(y) é constante no diferencial em x, temos
partial upartial x =ddxl(X(x)r),Y(y) =X'(x),Y(y)

Passo 3

Agora tiramos a derivada parcial do resultado anterior em relação a y. Aqui X'(x) é constante no diferencial em y, logo
partial^2 upartial x,partial y =partialpartial yl(X'(x),Y(y)r) =X'(x),ddyl(Y(y)r) =X'(x),Y'(y)

Passo 4

Portanto chegamos exatamente à expressão
partial^2 upartial x,partial y = X'(x),Y'(y),
o que confirma o que o enunciado afirmava.

Resposta

Verdadeiro.

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