É verdadeiro ou falso?
Se u(x, y)=X(x) Y(y), então partial^2 upartial x^2=X^prime prime(x) Y(y).

Passo 1

O enunciado é uma aplicação de derivadas parciais em uma função separável do tipo u(x,y)=X(x)Y(y). Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra do produto (embora aqui seja produto entre função de x e função de y, y é tratado como constante ao derivar em x).

Passo 2

Calcular a primeira derivada parcial de u em relação a x. Como Y(y) é constante em relação a x, temos: partial upartial x=X'(x),Y(y)

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial de u em relação a x. Derivando novamente em x a expressão anterior, Y(y) continua constante, então: partial^2 upartial x^2=X''(x),Y(y)

Passo 4

Comparando com o enunciado, vemos que a expressão coincide exatamente com o que foi dado.

Resposta

Verdadeiro

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