Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
Dada uma matriz A de ordem m times n, A^T A é uma matriz simétrica.

Passo 1

O enunciado afirma que, dada uma matriz A de ordem mtimes n, a matriz A^TA é simétrica. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente propriedades de transposta de matrizes e definição de matriz simétrica. Para resolver, vamos usar a regra do produto transposto.

Passo 2

Recordando a definição: uma matriz M quadrada é dita simétrica se ela é igual à sua transposta, isto é,
M = M^T

Passo 3

Usamos a propriedade do transposto de um produto de matrizes: para quaisquer matrizes compatíveis B e C,
(BC)^T = C^T B^T

Passo 4

Aplicando essa propriedade a A^T A, temos
(A^T A)^T = A^T (A^T)^T
Mas a transposta da transposta devolve a matriz original, então (A^T)^T = A. Logo,
(A^T A)^T = A^T A
Isso mostra que A^T A é igual à sua transposta e, portanto, é simétrica.

Resposta

Verdadeiro.

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