Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
Dada uma matriz
de ordem
é uma matriz simétrica.
Dada uma matriz
Passo 1
O enunciado afirma que, dada uma matriz
de ordem
, a matriz
é simétrica. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente propriedades de transposta de matrizes e definição de matriz simétrica. Para resolver, vamos usar a regra do produto transposto.
Passo 2
Recordando a definição: uma matriz
quadrada é dita simétrica se ela é igual à sua transposta, isto é,
Passo 3
Usamos a propriedade do transposto de um produto de matrizes: para quaisquer matrizes compatíveis
e
,
Passo 4
Aplicando essa propriedade a
, temos
Mas a transposta da transposta devolve a matriz original, então
. Logo,
Isso mostra que
é igual à sua transposta e, portanto, é simétrica.
Resposta
Verdadeiro.