Verdadeiro ou falso? Justifique.
O conjunto C dos números complexos com parte real não negativa é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = ,zinCmid Re(z)>= 0
e pergunta se S é um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos checar os axiomas de espaço vetorial real, em particular a existência de inverso aditivo e a fechamento em multiplicação por escalar em R.

Passo 2

Verificamos o fechamento em adição e a existência do vetor zero:
  • Se z1,z2in S, então
    Re(z1+z2)=Re(z1)+Re(z2)>=0+0=0,
    logo z1+z2in S.
  • O vetor 0inC satisfaz Re(0)=0, então 0in S.

Passo 3

Para ser espaço vetorial, cada zin S deve ter seu inverso aditivo -z em S. Mas se zneq0 tem Re(z)>0, então
Re(-z)=-Re(z)<0
e -znotin S. Portanto falha o axioma do inverso aditivo.

Passo 4

Além disso, para todo escalar alphainR deve valer alpha zin S. Se escolhermos z com Re(z)>0 e alpha<0, então
Re(alpha z)=alpha,Re(z)<0,
o que também quebra o fechamento em multiplicação por escalar.

Resposta

Falso. O conjunto não é espaço vetorial real porque não é fechado nem sob inverso aditivo nem sob multiplicação por escalares negativos.

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