Verdadeiro ou falso? Justifique.
O conjunto
dos números complexos com parte real não negativa é um espaço vetorial real.
O conjunto
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pergunta se
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos checar os axiomas de espaço vetorial real, em particular a existência de inverso aditivo e a fechamento em multiplicação por escalar em
.
Passo 2
Verificamos o fechamento em adição e a existência do vetor zero:
- Se
, então
,
logo. - O vetor
satisfaz , então .
Passo 3
Para ser espaço vetorial, cada
deve ter seu inverso aditivo
em
. Mas se
tem
, então
e
. Portanto falha o axioma do inverso aditivo.
Passo 4
Além disso, para todo escalar
deve valer
. Se escolhermos
com
e
, então
,
o que também quebra o fechamento em multiplicação por escalar.
o que também quebra o fechamento em multiplicação por escalar.
Resposta
Falso. O conjunto não é espaço vetorial real porque não é fechado nem sob inverso aditivo nem sob multiplicação por escalares negativos.