Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaço de M2 times 2(R) :
todas as matrizes 2 times 2 invertíveis. Lembrando que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos saber se o conjunto
S=Ain M2times2(R)mid det(A)neq 0
é um subespaço de M2times2(R). O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, e precisaremos verificar os três requisitos de subespaço: presença do vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Critérios para Ssubseteq V ser subespaço de um espaço vetorial V:
  1. O vetor zero de V pertence a S.
  2. Se A,Bin S então A+Bin S (fechamento sob soma).
  3. Se Ain S e lambdainR então lambda Ain S (fechamento sob escalar).

Passo 3

Verificando o critério 1: o vetor zero em M2times2(R) é a matriz 0 com todas as entradas nulas. Como
det(0) = 0,
vemos que 0notin S (pois S exige determinante diferente de zero). Logo, falha o primeiro requisito.

Passo 4

Para reforçar, podemos também notar falha no critério 2: se Ain S então -Ain S, mas
A + (-A) = 0notin S,
ou seja, a soma de dois elementos de S nem sempre fica em S.

Passo 5

E no critério 3: tomando qualquer Ain S e lambda=0, temos
0cdot A = 0notin S,
logo não há fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes invertíveis em M2times2(R) não é um subespaço vetorial, pois falha em conter o vetor zero e não é fechado nem sob soma nem sob multiplicação por escalar.

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