Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaço de
:
todas as matrizes
invertíveis. Lembrando que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.
todas as matrizes
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos saber se o conjunto
é um subespaço de . O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, e precisaremos verificar os três requisitos de subespaço: presença do vetor zero, fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.
é um subespaço de
Passo 2
Critérios para
ser subespaço de um espaço vetorial
:
- O vetor zero de
pertence a . - Se
então (fechamento sob soma). - Se
e então (fechamento sob escalar).
Passo 3
Verificando o critério 1: o vetor zero em
é a matriz
com todas as entradas nulas. Como
vemos que
(pois
exige determinante diferente de zero). Logo, falha o primeiro requisito.
Passo 4
Para reforçar, podemos também notar falha no critério 2: se
então
, mas
ou seja, a soma de dois elementos de
nem sempre fica em
.
Passo 5
E no critério 3: tomando qualquer
e
, temos
logo não há fechamento sob multiplicação escalar.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes invertíveis em
não é um subespaço vetorial, pois falha em conter o vetor zero e não é fechado nem sob soma nem sob multiplicação por escalar.