Verdadeiro ou falso? Justifique as suas respostas. (3 pontos)
Para elementos alpha, beta in F de um corpo F é válido alpha beta neq 0, se e só se alpha neq 0 e beta neq 0.

Passo 1

O enunciado pergunta se, em um corpo F, vale a equivalência
alphabeta neq 0 Long<=ftrightarrow alpha neq 0 e beta neq 0
Este conteúdo envolve a definição de corpo e a propriedade de não haver divisores de zero em corpo (isto é, corpos são domínios integrais).

Passo 2

Suponha alpha neq 0 e beta neq 0. Em corpo, todo elemento não nulo tem inverso. Logo alpha^-1 e beta^-1 existem. Então
(alphabeta),l(beta^-1alpha^-1r) =alpha,l(betabeta^-1r)alpha^-1 =alphacdot1cdotalpha^-1 =1
Como alphabeta tem inverso, segue alphabetaneq0.

Passo 3

Agora suponha alphabetaneq0. Se, por absurdo, alpha=0, então alphabeta=0cdotbeta=0, contradizendo alphabetaneq0. De modo análogo, não pode ocorrer beta=0. Logo alphaneq0 e betaneq0.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados