Verdadeiro ou falso? Justifique as suas respostas. (3 pontos)
Uma relação binária R, definida no conjunto de números inteiros Z por a R b, se e somente se, a-b=8 k, onde k in Z, é uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado define a relação binária R em Z por
a,R,b Long<=ftrightarrow a - b = 8k,;kinZ
Queremos verificar se R é uma relação de equivalência, ou seja, se satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Reflexividade: para todo ainZ temos
a - a = 0 = 8cdot 0,
onde 0inZ. Logo a,R,a, e R é reflexiva.

Passo 3

Simetria: suponha a,R,b. Então existe kinZ tal que
a - b = 8k
Invertendo a diferença,
b - a = -l(a - br) = -8k = 8(-k),
e -kinZ. Logo b,R,a, e R é simétrica.

Passo 4

Transitividade: suponha a,R,b e b,R,c. Então existem k1,k2inZ tais que
a - b = 8k1 e b - c = 8k2
Somando essas igualdades,
a - c = (a - b)+(b - c) = 8k1 + 8k2 = 8(k1 + k2),
e k1 + k2inZ. Logo a,R,c, e R é transitiva.

Resposta

Verdadeiro.

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