Verdadeiro ou falso?
(a)
é
é LD.
(b)
é
é LI.
(c)
é
é LD.
(d)
é LD
é LD.
(e)
é
é LI.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre dependência e independência linear de vetores. A gente vai precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes (LD) ou independentemente lineares (LI). Vou te mostrar passo a passo como resolver cada parte.
Passo 2
(a)
é LD
é LD.
Quando dois vetores
e
são linearmente dependentes, isso significa que um é múltiplo do outro, ou seja, existe um número escalar
tal que
. Se a gente adiciona um terceiro vetor
, a combinação continua dependente porque já tem dependência com os dois primeiros. Então, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b)
é LI
é LI.
Se três vetores
,
e
são linearmente independentes, significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Logo, qualquer par deles também deve ser independente, já que remover um vetor de um conjunto independende não cria dependência. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
(c)
é LD
é LD.
Se
e
são dependentes, então
para algum escalar
. Vamos ver as combinações:
Ambos são múltiplos de
, então os vetores resultantes também são dependentes. Assim, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d)
é LD
é LD.
Aqui, se três vetores são dependentes, isso não garante que qualquer par deles seja dependente. Por exemplo,
e
podem ser independentes, mas
pode ser uma combinação deles. Logo, essa afirmação é falsa.
Passo 6
(e)
é LI
é LI.
Se
e
são independentes, adicionar um terceiro vetor
não garante que o conjunto todo seja independente. O
pode ser uma combinação de
e
, tornando o conjunto dependente. Portanto, essa afirmação é falsa.
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Verdadeiro
(d) Falso
(e) Falso