Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
( ) Para toda matriz A tem-se que A^T A=A A^T.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa saber se, para qualquer matriz A , a multiplicação A^T A é igual a A A^T . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre transposição e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa A^T . A transposta de uma matriz A , denotada por A^T , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se A é uma matriz 2 times 3 , então A^T será uma matriz 3 times 2 .

Passo 3

Agora, vamos entender o que acontece quando multiplicamos A^T A e A A^T . A^T A resulta em uma matriz quadrada onde cada elemento é a soma dos produtos correspondentes das linhas de A^T e das colunas de A . Já A A^T também é uma matriz quadrada, mas construída multiplicando as linhas de A pelas colunas de A^T .

Passo 4

Embora ambas as matrizes A^T A e A A^T sejam quadradas e simétricas, elas não são necessariamente iguais para qualquer matriz A . Por exemplo, se A for uma matriz retangular onde o número de linhas é diferente do número de colunas, as dimensões de A^T A e A A^T serão diferentes, tornando-as inequivocamente diferentes.

Passo 5

Mesmo quando A é uma matriz quadrada, A^T A e A A^T só serão iguais se A for uma matriz normal, ou seja, se A comutar com sua transposta ( A A^T = A^T A ). Isso não acontece para todas as matrizes.

Resposta

Falso. Para uma matriz qualquer A , A^T A e A A^T nem sempre são iguais. Elas só coincidem quando A satisfaz condições específicas, como ser uma matriz normal.

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