Verdadeiro
ou falso
, justifique sua resposta.
( ) Para toda matriz A tem-se que
.
( ) Para toda matriz A tem-se que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa saber se, para qualquer matriz
, a multiplicação
é igual a
. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre transposição e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa
. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se
é uma matriz
, então
será uma matriz
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que acontece quando multiplicamos
e
.
resulta em uma matriz quadrada onde cada elemento é a soma dos produtos correspondentes das linhas de
e das colunas de
. Já
também é uma matriz quadrada, mas construída multiplicando as linhas de
pelas colunas de
.
Passo 4
Embora ambas as matrizes
e
sejam quadradas e simétricas, elas não são necessariamente iguais para qualquer matriz
. Por exemplo, se
for uma matriz retangular onde o número de linhas é diferente do número de colunas, as dimensões de
e
serão diferentes, tornando-as inequivocamente diferentes.
Passo 5
Mesmo quando
é uma matriz quadrada,
e
só serão iguais se
for uma matriz normal, ou seja, se
comutar com sua transposta (
). Isso não acontece para todas as matrizes.
Resposta
Falso. Para uma matriz qualquer
,
e
nem sempre são iguais. Elas só coincidem quando
satisfaz condições específicas, como ser uma matriz normal.