Verificar se
é uma base de
em cada caso abaixo:
Passo 1
Vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos β = {(1,1), (0,1)} e V = ℝ². O assunto aqui é “base de um espaço vetorial”. Para mostrar que β é base de V, a gente precisa provar duas coisas:
- Os vetores de β são linearmente independentes.
- Eles geram todo o ℝ².
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de base: é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo
• Linearmente independente (LI): a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.
• Gerador de V: qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação desses vetores.
• Linearmente independente (LI): a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.
• Gerador de V: qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação desses vetores.
Passo 3
Verificando linearidade independente.
Queremos ver se existirão números a e b tais que
Queremos ver se existirão números a e b tais que
Isso equivale ao sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda,
→
.
Só tem solução trivial , então os vetores são LI.
Só tem solução trivial
Passo 4
Verificando que β gera ℝ².
Tomamos um vetor genérico [(x,y)\in\mathbb{R}^2) e buscamos
tais que
Igualando componentes:
Daqui .
Como sempre conseguimos achar
e
, qualquer
está no span de β.
Resposta
Sim,
é uma base de
.