Verificar se beta é uma base de V em cada caso abaixo:
beta=(1,1),(0,1), V=R^2

Passo 1

Vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos β = {(1,1), (0,1)} e V = ℝ². O assunto aqui é “base de um espaço vetorial”. Para mostrar que β é base de V, a gente precisa provar duas coisas:
  1. Os vetores de β são linearmente independentes.
  2. Eles geram todo o ℝ².

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de base: é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo
• Linearmente independente (LI): a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial.
• Gerador de V: qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação desses vetores.

Passo 3

Verificando linearidade independente.
Queremos ver se existirão números a e b tais que
a,(1,1) + b,(0,1) = (0,0),
Isso equivale ao sistema
a = 0, a + b = 0
Da primeira equação vem a=0. Substituindo na segunda, 0 + b = 0 b=0.
Só tem solução trivial a=b=0, então os vetores são LI.

Passo 4

Verificando que β gera ℝ².
Tomamos um vetor genérico [(x,y)\in\mathbb{R}^2) e buscamos tais que
Igualando componentes:
Daqui .
Como sempre conseguimos achar e , qualquer está no span de β.

Resposta

Sim, beta = (1,1),(0,1) é uma base de R^2.

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