Verificar se beta é uma base de V em cada caso abaixo:
beta=(1,1),(-1,-1), V=R^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
beta = (1,1),,(-1,-1)
é uma base do espaço vetorial V = R^2.
Lembre-se de que um conjunto é base se, e somente se, ele for linearmente independente e gerar todo o espaço.

Passo 2

Para testar independência linear, buscamos escalares alpha,beta tais que
alpha,(1,1) + beta,(-1,-1) = (0,0)
Isso dá o sistema de coordenadas
(alpha - beta,;alpha - beta) = (0,0) Longrightarrow alpha - beta = 0 Longrightarrow alpha = beta
Há, por exemplo, a solução não trivial alpha = 1,;beta = 1.
Além disso, notamos diretamente que
(-1,-1) = -1cdot(1,1),
ou seja, os dois vetores são colineares. Logo são linearmente dependentes.

Resposta

beta não é base de R^2, pois seus vetores são linearmente dependentes.

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