Verificar se beta é uma base de V em cada caso abaixo:
beta=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1), V=R^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se beta = (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) é uma base de V=R^3. O conteúdo aqui é o conceito de base de um espaço vetorial, que envolve testar independência linear e geração do espaço.

Passo 2

Lembrando que um conjunto de vetores em R^3 é base se e só se for linearmente independente e gerar todo R^3. Além disso, como a dimensão de R^3 é 3, basta mostrar que três vetores são linearmente independentes para concluir que formam uma base.

Passo 3

Para checar independência, montamos a matriz que tem esses vetores como colunas:
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
Como A é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 = 1 neq 0
Logo, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Tendo três vetores linearmente independentes em R^3, a quantidade de vetores coincide com a dimensão do espaço, o que garante também a geração de todo R^3. Portanto, beta satisfaz as duas condições de base.

Resposta

Sim, beta é uma base de R^3.

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