Verificar se beta é uma base de V em cada caso abaixo:
beta=[ll1 & 0 0 & 1],[ll0 & 2 0 & 0],[ll0 & 0 3 & 0],[cc1 & 2 -3 & 1], V=M2 x 2(R)

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V=M2times2(R), que tem dimensão 4, e a família
beta=B1,B2,B3,B4
com
B1=1&00&1,; B2=0&20&0,; B3=0&03&0,; B4=1&2-3&1
Para verificar se beta é base de V, basta checar se é linearmente independente (ou se gera V), pois tem exatamente 4 vetores em espaço de dimensão 4.

Passo 2

Suponhamos que exista combinação linear não-trivial que dê a matriz zero:
c1B1 + c2B2 + c3B3 + c4B4 = 0&00&0
Escrevendo entrada a entrada, obtemos o sistema
c1 + c4 = 0, 2c2 + 2c4 = 0, 3c3 - 3c4 = 0, c1 + c4 = 0

Passo 3

Dividindo as equações auxiliares por constantes, fica
c1 + c4 = 0, c2 + c4 = 0, c3 - c4 = 0
Logo
c1 = -c4, c2 = -c4, c3 = c4,
mostrando que há soluções não triviais (por exemplo, c4=1 (c1,c2,c3,c4)=(-1,-1,1,1)). Portanto a família é linearmente dependente.

Passo 4

Da solução (c1,c2,c3,c4)=(-1,-1,1,1) segue a relação
-,B1 ;-; B2 ;+; B3 ;+; B4 ;=;0 Longrightarrow B4 ;=; B1 + B2 - B3,
uma dependência não-trivial. Concluímos que beta não é linearmente independente e, portanto, não é base de V.

Resposta

beta não é base de V.

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