Verifique se as relações abaixo são ou não Produtos Internos.
, onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma
com
e
em
. Para verificar se isso é um produto interno, precisamos checar três propriedades:
- bilinearidade (linearidade em cada argumento),
- simetria (
), - positividade definida (
sempre que ).
Passo 2
Testando a linearidade em
, deveríamos ter
Mas, ao calcular cada lado, o termo
aparece apenas uma vez em
e duas vezes em
. Logo a aditividade em
falha e não há bilinearidade.
Passo 3
Para a simetria, tomemos
e
. Então
de modo que
. A simetria falha.
Passo 4
Por fim, calculemos
Esse valor pode ser negativo ou zero mesmo que
, violando a positividade definida.
Resposta
A relação dada não satisfaz os axiomas de produto interno em
; portanto, não é um produto interno.