Verifique se as relações abaixo são ou não Produtos Internos.
lang<= u, vrang<==-x1 y2-(x2)^2-x2 y1+x2 y2, onde u=(x1, x2), v=(y1, y2) in R^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma
lang<= u,vrang<= = -x1y2 - (x2)^2 - x2y1 + x2y2,
com u=(x1,x2) e v=(y1,y2) em R^2. Para verificar se isso é um produto interno, precisamos checar três propriedades:
  1. bilinearidade (linearidade em cada argumento),
  2. simetria ( lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=),
  3. positividade definida ( lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0).

Passo 2

Testando a linearidade em v, deveríamos ter
lang<= u,v+wrang<= = lang<= u,vrang<= + lang<= u,wrang<=
Mas, ao calcular cada lado, o termo -(x2)^2 aparece apenas uma vez em lang<= u,v+wrang<= e duas vezes em lang<= u,vrang<=+lang<= u,wrang<=. Logo a aditividade em v falha e não há bilinearidade.

Passo 3

Para a simetria, tomemos u=(1,0) e v=(0,1). Então
lang<= u,vrang<= = -1 enquanto lang<= v,urang<= = -2,
de modo que lang<= u,vrang<= neq lang<= v,urang<=. A simetria falha.

Passo 4

Por fim, calculemos
lang<= u,urang<= = -x1x2 - x2^2 - x2x1 + x2^2 = -2,x1x2
Esse valor pode ser negativo ou zero mesmo que uneq0, violando a positividade definida.

Resposta

A relação dada não satisfaz os axiomas de produto interno em R^2; portanto, não é um produto interno.

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