Verifique se as relações abaixo são ou não Produtos Internos.
lang<= A, Brang<==tr(B^t A), onde tr indica a soma dos elementos da diagonal principal e A, B in M(3,3).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= A,Brang<==tr(B^tA)
definida em M(3,3) satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. simetria,
  2. bilinearidade,
  3. positividade definida.

Passo 2

Mostramos primeiro que essa forma pode ser escrita como soma de produtos de entradas. Sabemos que
tr(B^tA)=sumi=1^3(B^tA)ii.
Mas (B^tA)ii=sumj=1^3(B^t)ijAji=sumj=1^3BjiAji.
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tr(B^tA) =sumi=1^3sumj=1^3AijBij

Passo 3

Verificamos a simetria:
lang<= A,Brang<= =tr(B^tA) =sumi,jAijBij =sumi,jBijAij =tr(A^tB) =lang<= B,Arang<=

Passo 4

Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Sejam A1,A2,BinM(3,3) e alpha,betainR. Então
lang<= alpha A1+beta A2,Brang<= =trl(B^t(alpha A1+beta A2)r) =alpha,tr(B^tA1)+beta,tr(B^tA2) =alphalang<= A1,Brang<=+betalang<= A2,Brang<=
Analogamente mostra-se linearidade no segundo argumento por simetria.

Passo 5

Por fim, a positividade definida:
lang<= A,Arang<= =tr(A^tA) =sumi,jAij^2>=0,
e essa soma é zero se, e somente se, Aij=0 para todo i,j, ou seja, A é a matriz zero.

Resposta

A aplicação lang<= A,Brang<==tr(B^tA) satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, portanto é um produto interno em M(3,3).

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