Verifique se as relações abaixo são ou não Produtos Internos.
, onde
indica a soma dos elementos da diagonal principal e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
definida em satisfaz as três propriedades de um produto interno:
definida em
- simetria,
- bilinearidade,
- positividade definida.
Passo 2
Mostramos primeiro que essa forma pode ser escrita como soma de produtos de entradas. Sabemos que
.
Mas .
Logo
Mas
Logo
Passo 3
Verificamos a simetria:
Passo 4
Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Sejam
e
. Então
Analogamente mostra-se linearidade no segundo argumento por simetria.
Passo 5
Por fim, a positividade definida:
e essa soma é zero se, e somente se,
para todo
, ou seja,
é a matriz zero.
Resposta
A aplicação
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, portanto é um produto interno em
.