Verificar se cada uma das equações é separável, homogênea ou exata.
x y^{\prime}+2 y=x^{2}
x y^{\prime}+2 y=x^{2}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para classificá-la como separável, homogênea ou exata. Para isso vamos, primeiro, colocá-la em formas convenientes para cada teste.
Passo 2
Para testar separabilidade, isolamos
:
Uma equação é separável se puder ser escrita como
. Aqui o lado direito é
, que não se fatoriza em função só de
vezes função só de
. Logo, não é separável.
Passo 3
Para testar homogeneidade, escrevemos em forma diferencial
com
Uma função é homogênea de grau
se cada termo de
e de
tiver o mesmo grau total em
e
. Aqui
mescla termo de grau 1
e grau 2
, enquanto
é só grau 1. Como não há um único grau comum, não é homogênea.
Passo 4
Para testar exatidão, verificamos
Como
, a equação não é exata.
Resposta
A equação diferencial
não é separável, não é homogênea e não é exata.