Verificar se cada uma das equações é separável, homogênea ou exata.
x y^{\prime}+2 y=x^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,\frac{dy}{dx} + 2y = x^{2}
e pede para classificá-la como separável, homogênea ou exata. Para isso vamos, primeiro, colocá-la em formas convenientes para cada teste.

Passo 2

Para testar separabilidade, isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = x - \frac{2y}{x}.
Uma equação é separável se puder ser escrita como g(x)\,h(y). Aqui o lado direito é x - 2y/x, que não se fatoriza em função só de x vezes função só de y. Logo, não é separável.

Passo 3

Para testar homogeneidade, escrevemos em forma diferencial
(2y - x^{2})\,dx + x\,dy = 0,
com
M(x,y)=2y - x^{2},\quad N(x,y)=x.
Uma função é homogênea de grau n se cada termo de M e de N tiver o mesmo grau total em x e y. Aqui M mescla termo de grau 1 2y e grau 2 -x^{2}, enquanto N é só grau 1. Como não há um único grau comum, não é homogênea.

Passo 4

Para testar exatidão, verificamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 2, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial x\,y' + 2y = x^{2} não é separável, não é homogênea e não é exata.

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