Verificar se cada uma das equações é separável, homogênea ou exata.
y-x y^{\prime}=y \ln \left(\frac{y}{x}\right)
y-x y^{\prime}=y \ln \left(\frac{y}{x}\right)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação de primeira ordem
ou seja, verificar se ela é separável, homogênea ou exata. Para isso vamos reescrevê-la em formas apropriadas e aplicar os critérios de cada tipo de equação.
Passo 2
Testando se é separável: colocamos em forma
. Da equação original,
O lado direito depende de
, não é produto de função só de
por função só de
. Logo, não é separável.
Passo 3
Testando homogeneidade: uma equação é homogênea se
. Aqui já reescrevemos
ou seja, de fato depende só de
. Portanto a equação é homogênea.
Passo 4
Testando exatidão: escrevemos em forma diferencial
onde
e
. Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Resposta
A equação não é separável, não é exata e é homogênea.