Verificar se cada uma das equações é separável, homogênea ou exata.
y-x y^{\prime}=y \ln \left(\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação de primeira ordem
y - x\,y' \;=\; y \ln\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr)
ou seja, verificar se ela é separável, homogênea ou exata. Para isso vamos reescrevê-la em formas apropriadas e aplicar os critérios de cada tipo de equação.

Passo 2

Testando se é separável: colocamos em forma \dfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y). Da equação original,
y - x\,\frac{dy}{dx}=y\ln\!\biggl(\frac{y}{x}\biggr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} =\frac{y}{x}\Bigl(1-\ln\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\Bigr).
O lado direito depende de y/x, não é produto de função só de x por função só de y. Logo, não é separável.

Passo 3

Testando homogeneidade: uma equação é homogênea se \dfrac{dy}{dx}=F\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr). Aqui já reescrevemos
\frac{dy}{dx} =F\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) \quad\text{com}\quad F(u)=u\bigl(1-\ln u\bigr),
ou seja, de fato depende só de u=y/x. Portanto a equação é homogênea.

Passo 4

Testando exatidão: escrevemos em forma diferencial
\bigl(y - y\ln(\tfrac{y}{x})\bigr)\,dx \;-\; x\,dy \;=\;0,
onde M(x,y)=y - y\ln(y/x) e N(x,y)=-x. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =1-\bigl[\ln(\tfrac{y}{x})+1\bigr] =-\ln\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr), \quad \frac{\partial N}{\partial x}=-1.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Resposta

A equação não é separável, não é exata e é homogênea.

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