Verificar se cada função a seguir é contínua no ponto
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Passo 1
Neste exercício, a gente vai checar a continuidade de uma função de duas variáveis no ponto (0,0). O conteúdo é limites em várias variáveis e definição de continuidade: precisamos ver se o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) bate com o valor f(0,0).
Passo 2
Para dizer que f é contínua em (0,0), é preciso que
Aqui f(0,0)=0, então nosso objetivo é mostrar que
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares. Definimos
de modo que
Substituindo em f, para (x,y)≠(0,0) temos
Como |sin(2θ)| ≤ 1, resulta que |f(r,θ)| ≤ r.
Passo 4
Quando r → 0, temos r → 0, então por teorema do confronto (squeeze) segue
Logo
e portanto f é contínua em (0,0).
Resposta
A função é contínua no ponto (0,0).