Verificar se cada função a seguir é contínua no ponto (0,0).
f(x, y)=ll2 x yraizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Neste exercício, a gente vai checar a continuidade de uma função de duas variáveis no ponto (0,0). O conteúdo é limites em várias variáveis e definição de continuidade: precisamos ver se o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) bate com o valor f(0,0).

Passo 2

Para dizer que f é contínua em (0,0), é preciso que
lim(x,y)to(0,0) f(x,y) = f(0,0)
Aqui f(0,0)=0, então nosso objetivo é mostrar que
lim(x,y)to(0,0) 2xyraizx^2+y^2 = 0

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares. Definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
de modo que
raizx^2+y^2 = r
Substituindo em f, para (x,y)≠(0,0) temos
f(r,theta)= 2, (rcostheta)(rsintheta)r = 2rcosthetasintheta = rsin(2theta)
Como |sin(2θ)| ≤ 1, resulta que |f(r,θ)| ≤ r.

Passo 4

Quando r → 0, temos r → 0, então por teorema do confronto (squeeze) segue
limrto0 f(r,theta) = 0
Logo
lim(x,y)to(0,0) f(x,y) = 0 = f(0,0),
e portanto f é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua no ponto (0,0).

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