Verificar se o campo dado
é irrotacional ou seja
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o campo vetorial dado,
, é irrotacional. Isso significa que precisamos calcular a rotação (ou “curl”) de
e verificar se ela é igual ao vetor zero. Para fazer isso, vamos usar a definição de rotação de um campo vetorial.
Passo 2
A rotação de um campo vetorial
é dada por:
Isso significa que vamos precisar calcular algumas derivadas parciais dos componentes de
.
Passo 3
Vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
-
(Pois não háem ) -
(Pois não háem ) -
-
-
-
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da rotação, temos:
Ou seja:
Passo 6
Para que o campo
seja irrotacional, a rotação dele precisa ser o vetor zero em todos os pontos. Vamos analisar cada componente da rotação:
-
Primeira componente:
(Já é zero) -
Segunda componente:
Para ser zero, precisaríamos que, ou seja, (se ) -
Terceira componente:
Para ser zero, precisaríamos que
Passo 7
Observando as condições necessárias, vemos que elas não são satisfeitas para todos os valores de
. Ou seja, a rotação de
não é zero em geral.
Resposta
Portanto, o campo vetorial
não é irrotacional, pois sua rotação não é igual ao vetor zero em todos os pontos.