Verificar se o campo dado F é irrotacional ou seja rot(F)=0.
F(x, y, z)=(x y z, 2 x-1, x^2 z)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o campo vetorial dado, F(x, y, z) = (x y z, 2x - 1, x^2 z) , é irrotacional. Isso significa que precisamos calcular a rotação (ou “curl”) de F e verificar se ela é igual ao vetor zero. Para fazer isso, vamos usar a definição de rotação de um campo vetorial.

Passo 2

A rotação de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Isso significa que vamos precisar calcular algumas derivadas parciais dos componentes de F .

Passo 3

Vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial:
Fx = x y z, Fy = 2x - 1, Fz = x^2 z

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. partial Fzpartial y = partial (x^2 z)partial y = 0
    (Pois não há y em Fz )
  2. partial Fypartial z = partial (2x - 1)partial z = 0
    (Pois não há z em Fy )
  3. partial Fxpartial z = partial (x y z)partial z = x y
  4. partial Fzpartial x = partial (x^2 z)partial x = 2x z
  5. partial Fypartial x = partial (2x - 1)partial x = 2
  6. partial Fxpartial y = partial (x y z)partial y = x z

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da rotação, temos:
nabla times F = ( 0 - 0, x y - 2x z, 2 - x z )
Ou seja:
nabla times F = (0, x y - 2x z, 2 - x z)

Passo 6

Para que o campo F seja irrotacional, a rotação dele precisa ser o vetor zero em todos os pontos. Vamos analisar cada componente da rotação:
  1. Primeira componente: 0
    (Já é zero)
  2. Segunda componente: x y - 2x z
    Para ser zero, precisaríamos que x y - 2x z = 0 , ou seja, y = 2 z (se x neq 0 )
  3. Terceira componente: 2 - x z
    Para ser zero, precisaríamos que x z = 2

Passo 7

Observando as condições necessárias, vemos que elas não são satisfeitas para todos os valores de x, y, z . Ou seja, a rotação de F não é zero em geral.

Resposta

Portanto, o campo vetorial F não é irrotacional, pois sua rotação não é igual ao vetor zero em todos os pontos.

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