Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:
a) r(t) = (sen(t), cos(t)), t ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você tem. A questão é verificar se a curva dada por , para , está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso significa que queremos saber se o parâmetro representa exatamente a distância percorrida ao longo da curva a partir de um ponto inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é parametrização por comprimento de arco e como calcular a velocidade da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva estar parametrizada pelo comprimento de arco. Quando uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, isso quer dizer que o parâmetro usado (neste caso, ) aumenta exatamente na mesma proporção que a distância percorrida ao longo da curva. Matematicamente, isso se traduz no fato de que a velocidade da curva, que é a magnitude da derivada da posição em relação ao tempo, deve ser igual a 1 para todo valor de .

Passo 3

Então, vamos calcular a derivada da posição em relação a . A derivada nos dá a velocidade da curva:

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada para encontrar a velocidade:
Como sabemos que , então:

Passo 5

A velocidade da curva é constante e igual a 1 para todo . Isso significa que o parâmetro está aumentando na mesma proporção que a distância percorrida ao longo da curva, ou seja, o comprimento de arco.

Resposta

Sim, a curva está parametrizada pelo comprimento de arco para todo .

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