Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você tem. A questão é verificar se a curva dada por , para
, está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso significa que queremos saber se o parâmetro
representa exatamente a distância percorrida ao longo da curva a partir de um ponto inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é parametrização por comprimento de arco e como calcular a velocidade da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva estar parametrizada pelo comprimento de arco. Quando uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, isso quer dizer que o parâmetro usado (neste caso,
) aumenta exatamente na mesma proporção que a distância percorrida ao longo da curva. Matematicamente, isso se traduz no fato de que a velocidade da curva, que é a magnitude da derivada da posição em relação ao tempo, deve ser igual a 1 para todo valor de
.
Passo 3
Então, vamos calcular a derivada da posição
em relação a
. A derivada nos dá a velocidade da curva:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada para encontrar a velocidade:
Como sabemos que , então:
Passo 5
A velocidade da curva é constante e igual a 1 para todo
. Isso significa que o parâmetro
está aumentando na mesma proporção que a distância percorrida ao longo da curva, ou seja, o comprimento de arco.
Resposta
Sim, a curva está parametrizada pelo comprimento de arco para todo
.