Verificar que a derivada da função
z=\frac{y^{2}}{x}
tomada em qualquer ponto da elipse 2 x^{2}+y^{2}=a^{2} ao longo da normal à mesma, é igual a zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer ponto da elipse definida por
2x^{2} + y^{2} = a^{2},
a derivada direcional de
z = \frac{y^{2}}{x}
na direção normal à elipse vale zero.
Conteúdo envolvido: derivada direcional, gradiente de uma função, vetor normal a uma curva dada por nível.

Passo 2

Para achar a direção normal à elipse, consideramos a função de nível
g(x,y) = 2x^{2} + y^{2} - a^{2}.
O vetor normal (não normalizado) em cada ponto é dado pelo gradiente de g:
\nabla g = \Bigl(\frac{\partial g}{\partial x},\,\frac{\partial g}{\partial y}\Bigr) = (4x,\;2y).

Passo 3

Calculemos o gradiente de
z(x,y) = \frac{y^{2}}{x}.
As derivadas parciais são
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(y^{2}x^{-1}\Bigr) = -\,\frac{y^{2}}{x^{2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y^{2}x^{-1}\Bigr) = \frac{2y}{x}.
Logo
\nabla z = \Bigl(-\tfrac{y^{2}}{x^{2}},\;\tfrac{2y}{x}\Bigr).

Passo 4

A derivada direcional de z na direção normal segue de
D_{\mathbf{n}} z = \nabla z \cdot \mathbf{\hat n}
onde \mathbf{\hat n} é o vetor normal unitário. Basta ver que
\nabla z \cdot \nabla g = \Bigl(-\frac{y^{2}}{x^{2}}\Bigr)\,(4x) + \Bigl(\frac{2y}{x}\Bigr)\,(2y) = -\frac{4y^{2}}{x} + \frac{4y^{2}}{x} = 0.
Como \mathbf{\hat n} é colinear a \nabla g, segue que \nabla z\cdot\mathbf{\hat n}=0.

Resposta

A derivada direcional de z=y^{2}/x ao longo da normal à elipse 2x^{2}+y^{2}=a^{2} é igual a zero.

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