Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
\left(x^{2}-y\right) d y+\left(y^{2}-x\right) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{2}-y\bigr)\,dy+\bigl(y^{2}-x\bigr)\,dx=0
e pede para verificar se ela é homogênea; caso seja, resolver pelo método de equações homogêneas.

Passo 2

Para usar o método de equação homogênea precisamos escrever a equação no formato
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
aqui identificando
M(x,y)=y^{2}-x, \quad N(x,y)=x^{2}-y.
Uma função F(x,y) é homogênea de grau k se
F(tx,ty)=t^{k}F(x,y)
para todo t. Para a equação ser homogênea, tanto M quanto N devem ser homogêneas do mesmo grau.

Passo 3

Verificando M e N:
M(tx,ty)=(ty)^{2}-(tx)=t^{2}y^{2}-t\,x,
que não se reduz a t^{k}(y^{2}-x) para um único k, pois mistura termos em t^{2} e em t.
Analogamente,
N(tx,ty)=(tx)^{2}-(ty)=t^{2}x^{2}-t\,y
também mistura t^{2} e t. Logo nem M nem N são homogêneas de mesmo grau.

Resposta

A equação não é homogênea, pois M e N não são funções homogêneas do mesmo grau. Portanto, não se aplica o método de equação homogênea.

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