Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
x^{2}+y^{2}-2 x y y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^{2} + y^{2} - 2\,x\,y\,y' = 0
onde y' = \frac{dy}{dx}. O que precisamos fazer é verificar se ela é homogênea (isto é, se pode ser escrita como y'=F(y/x)) e, em caso afirmativo, resolver usando a substituição y=vx.

Passo 2

Isolamos y' para testar a homogeneidade:
x^{2}+y^{2}=2\,x\,y\,y' \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{x^{2}+y^{2}}{2\,x\,y} =\frac{x}{2\,y}+\frac{y}{2\,x} =\tfrac12\Bigl(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\Bigr).
Como a expressão à direita depende apenas de y/x, a equação é homogênea.

Passo 3

Fazemos a substituição padrão de equação homogênea:
y=vx \quad\Longrightarrow\quad y'=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em y'=\tfrac12\bigl(v+1/v\bigr) obtemos
v + x\frac{dv}{dx} =\tfrac12\Bigl(v+\frac1v\Bigr).

Passo 4

Reorganizamos para separar variáveis:
x\frac{dv}{dx} =\tfrac12\Bigl(v+\frac1v\Bigr)-v =\frac{1}{2v}-\frac{v}{2} =\frac{1-v^{2}}{2v}.
Logo
\frac{dv}{dx} =\frac{1-v^{2}}{2v\,x},
que se separa em
\frac{2v}{1-v^{2}}\,dv =\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{2v}{1-v^{2}}\,dv =\int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo, use u=1-v^{2}, du=-2v\,dv, resultando em
- \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|x\bigr| + C \quad\Longrightarrow\quad -\ln\bigl|1-v^{2}\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 6

Reescrevendo e voltando a v=y/x:
\ln\bigl|1-v^{2}\bigr| = -\ln\bigl|x\bigr| + C' \quad\Longrightarrow\quad \bigl|1-\tfrac{y^{2}}{x^{2}}\bigr| = \frac{K}{x}.
Multiplicando por x^{2} e absorvendo constantes em K, obtemos a forma implícita da solução geral:
x^{2}-y^{2}=K\,x,
onde K é constante arbitrária de integração.

Resposta

A equação é homogênea e sua solução geral implícita é
x^{2}-y^{2}=C\,x,
com C constante de integração.

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