Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
y^{\prime}=4+\left(\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{x}\right)^{2} \quad Obs. \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{a}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
y' = 4 + \frac{y}{x} + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}
é homogênea e, em caso afirmativo, resolver. O conteúdo é de equações diferenciais de primeira ordem homogêneas, que se resolvem pela substituição \displaystyle y = u x e, em seguida, separação de variáveis.

Passo 2

Para testar a homogeneidade, escrevemos o lado direito como função de (x,y):
f(x,y) = 4 + \frac{y}{x} + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}.
Verificamos f(tx,ty)=4 + \frac{ty}{tx} + \bigl(\frac{ty}{tx}\bigr)^{2}=4+\frac{y}{x}+\bigl(\frac{y}{x}\bigr)^{2}=f(x,y). Logo f é homogênea de grau zero e podemos usar \displaystyle y=ux.

Passo 3

Fazendo \displaystyle y=ux obtemos
y' = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação original,
u + x\frac{du}{dx} = 4 + u + u^{2},
que simplifica para
x\frac{du}{dx} = 4 + u^{2}.

Passo 4

Agora separamos variáveis:
\int \frac{du}{4 + u^{2}} = \int \frac{dx}{x}.
Usando a fórmula \displaystyle \int \frac{du}{a^{2}+u^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr) com a=2, temos
\frac{1}{2}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{2}\Bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Multiplicando por 2 e isolando u:
\arctan\!\Bigl(\frac{u}{2}\Bigr) = 2\ln\lvert x\rvert + C_{1},
\frac{u}{2} = \tan\bigl(2\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr),
u = 2\,\tan\bigl(2\ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr).

Passo 6

Voltando à variável original \displaystyle y = u x, obtemos a solução geral:
y = 2x \,\tan\bigl(2 \ln\lvert x\rvert + C_{1}\bigr).

Resposta

\boxed{y = 2x \,\tan\bigl(2 \ln\lvert x\rvert + C\bigr),}
onde C é constante arbitrária.

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