Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
y y^{\prime}=2 y-x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,\frac{dy}{dx}=2y - x
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. Este é um problema de EDO homogênea, pois podemos escrever a razão dy/dx como função de y/x.

Passo 2

Isolamos dy/dx em termos de x e y:
\frac{dy}{dx}=\frac{2y - x}{y}=2 - \frac{x}{y}.
Como o lado direito depende apenas da razão x/y (ou equivalentemente de y/x), a equação é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazemos a substituição padrão para EDO homogênea:
y = u\,x, \qquad \frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.

Passo 4

Substituindo em \frac{dy}{dx}=2-\frac{x}{y} obtemos
u + x\frac{du}{dx} =2 - \frac{x}{u\,x} =2 - \frac{1}{u},
portanto
x\frac{du}{dx} =2 - \frac{1}{u} - u =-\frac{(u-1)^2}{u}.

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{u}{(u-1)^2}\,du = -\frac{1}{x}\,dx.
Para integrar a parte em u fazemos a decomposição
\frac{u}{(u-1)^2} =\frac{(u-1)+1}{(u-1)^2} =\frac{1}{u-1}+\frac{1}{(u-1)^2}.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{u-1}+\frac{1}{(u-1)^2}\Bigr)du = \int -\frac{1}{x}\,dx
\ln\bigl|u-1\bigr| \;-\;\frac{1}{u-1} = -\ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 7

Voltando à variável original, u=y/x, temos u-1=(y-x)/x. Logo
\ln\bigl|y-x\bigr| \;-\;\frac{x}{\,y-x\,} = C',
onde C' absorve o termo -\ln|x|.

Resposta

\boxed{\ln\bigl|y - x\bigr| \;-\;\frac{x}{\,y - x\,}=C.}

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