Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver. y y^{\prime}=2 y-x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,\frac{dy}{dx}=2y - x
e pede para verificar se ela é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. Este é um problema de EDO homogênea, pois podemos escrever a razão dy/dx como função de y/x.
Passo 2
Isolamos dy/dx em termos de x e y:
\frac{dy}{dx}=\frac{2y - x}{y}=2 - \frac{x}{y}.
Como o lado direito depende apenas da razão x/y (ou equivalentemente de y/x), a equação é homogênea de grau zero.
Passo 3
Fazemos a substituição padrão para EDO homogênea:
y = u\,x, \qquad \frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.
Passo 4
Substituindo em \frac{dy}{dx}=2-\frac{x}{y} obtemos
u + x\frac{du}{dx} =2 - \frac{x}{u\,x} =2 - \frac{1}{u},
portanto
x\frac{du}{dx} =2 - \frac{1}{u} - u =-\frac{(u-1)^2}{u}.