1. Verificar se a função definida por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{x-1} & \text { se } x \neq 1 \\\\ 2, & \text { se } x=1\end{array}\right. é contínua em x=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} \frac{x^{2}-1}{x-1},&x\neq1,\\\\ 2,&x=1, \end{cases}
e pede para verificar se ela é contínua em x=1. Para isso vamos usar a definição de continuidade: f é contínua em a se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Passo 2

Para calcular \lim_{x\to1}f(x) observamos o ramo para x\neq1. Fatorando o numerador:
\frac{x^{2}-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1\quad(x\neq1).
Logo
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}(x+1) =1+1 =2.

Passo 3

Comparando o valor de f(1), que é 2, com o limite que encontramos, também 2, vemos que
\lim_{x\to1}f(x)=f(1).
Portanto a função não possui quebra em x=1 — tratou-se de uma descontinuidade removível que foi “corrigida” definindo f(1)=2.

Resposta

A função f é contínua em x=1.

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