Verificar se a função f é contínua no ponto especificado.
a) f(x)=rllx^2-4x+2, & se & x neq-2, 4, & se & x=-2 , no ponto x=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a função $ f $ é contínua no ponto $ x = -2 $. Aqui, estamos lidando com o conceito de continuidade de funções, que basicamente quer dizer que a função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Para isso, vamos precisar calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de f e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função que define $ f(x) $ quando $ x \neq -2 $:
f(x)
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de x neq -2 :
f(x) = x^2 - 4x + 2

Passo 3

Observando a expressão $ \frac{x^{2} - 4}{x + 2} $, percebemos que o numerador pode ser fatorado. Sabemos que $ x^{2} - 4 $ é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar assim:
x^2 - 4x + 2
Agora, substituímos de volta na função:
x^2 - 4
Notamos que podemos simplificar $ x + 2 $ no numerador e denominador, desde que $ x \neq -2 $:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 4

Agora que simplificamos, o limite fica bem mais fácil:
limx to -2 (x - 2) = (-2) - 2 = -4
Então, o limite da função quando $ x $ se aproxima de x é -2.

Passo 5

Vamos agora comparar esse limite com o valor da função no ponto $ x = -2 $. Segundo o enunciado:
x = -2
Para a função ser contínua em $ x = -2 $, o limite quando $ x $ se aproxima de f(-2) = 4 deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, vemos que:
x = -2
Isso significa que a função tem um “salto” em $ x = -2 $ e, portanto, não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função $ f $ não é contínua no ponto $ x = -2 $ porque o limite f é diferente do valor da função $ 4 $ nesse ponto.

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