Verificar se a função
é contínua no ponto especificado.
a)
, no ponto
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a função $ f $ é contínua no ponto $ x = -2 $. Aqui, estamos lidando com o conceito de continuidade de funções, que basicamente quer dizer que a função não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Para isso, vamos precisar calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de
e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função que define $ f(x) $ quando $ x \neq -2 $:
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de
:
Passo 3
Observando a expressão $ \frac{x^{2} - 4}{x + 2} $, percebemos que o numerador pode ser fatorado. Sabemos que $ x^{2} - 4 $ é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar assim:
Agora, substituímos de volta na função:
Notamos que podemos simplificar $ x + 2 $ no numerador e denominador, desde que $ x \neq -2 $:
Passo 4
Agora que simplificamos, o limite fica bem mais fácil:
Então, o limite da função quando $ x $ se aproxima de
é
.
Passo 5
Vamos agora comparar esse limite com o valor da função no ponto $ x = -2 $. Segundo o enunciado:
Para a função ser contínua em $ x = -2 $, o limite quando $ x $ se aproxima de
deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, vemos que:
Isso significa que a função tem um “salto” em $ x = -2 $ e, portanto, não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função $ f $ não é contínua no ponto $ x = -2 $ porque o limite
é diferente do valor da função $ 4 $ nesse ponto.