Para verificar se as séries abaixo converge ou diverge use um dos critérios de convergência: a) Critério da raiz b) Critério da razão c) Critério da comparação d) Critério da comparação no limite e) Critério da integral d) Critério do termo geral f) Critério para série alternada g) Critério da convergência absoluta h) “Critério da Série geométrica”
Observação 1. Tem uma série para cada critério, não repetir o critério usado.
sumn=1^+infty n-2n^3-n^2+3

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^inftyn-2n^3-n^2+3
e pede para verificar convergência ou divergência usando um dos critérios. Vamos escolher o critério da comparação no limite (item d).

Passo 2

Analisamos o comportamento para n grande do termo geral
an = n-2n^3-n^2+3
Para ntoinfty, o termo dominante no numerador é n e no denominador é n^3, logo
ansim nn^3=1n^2

Passo 3

Definimos a série de comparação
sumn=1^inftybncom bn=1n^2,
que sabemos convergir (série p-com p=2>1).

Passo 4

Calculamos o limite do quociente dos termos:
limntoinftyanbn =limntoinftytfracn-2,n^3-n^2+3,tfrac1n^2 =limntoinftyn^2(n-2)n^3-n^2+3 =limntoinftyn^3-2n^2n^3l(1-tfrac1n+tfrac3n^3r) =11=1
Como esse limite é finito e estritamente positivo, vale o critério da comparação no limite.

Passo 5

Pelo critério da comparação no limite, como sum bn converge e lim an/bn=1in(0,infty), conclui-se que
sumn=1^inftyn-2n^3-n^2+3
também converge.

Resposta

A série converge (critério da comparação no limite).

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