Verifique quais matrizes são diagonalizáveis, determinando os autovalores( as raízes do polinômio, característico \left.p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)\right) e os autovetores associados ([A-\lambda I] v=0)
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 \\[6pt] 0 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 3\end{pmatrix}
é diagonalizável, determinando seus autovalores (raízes do polinômio característico p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)) e os autovetores associados (solução de (A-\lambda I)v=0). Vamos usar a teoria de valores e vetores próprios.]

Passo 2

Para achar o polinômio característico, montamos
A-\lambda I = \begin{pmatrix}1-\lambda & 1 & 2 \\[3pt] 0 & 1-\lambda & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 3-\lambda\end{pmatrix}
e expandimos o determinante pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 \\[3pt] 1 & 3-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 3-\lambda\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1-\lambda \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Os dois últimos determinantes são zero, e o primeiro dá
(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)(3-\lambda)\bigr) = (1-\lambda)^2(3-\lambda).]

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
(1-\lambda)^2(3-\lambda)=0,
cuja solução é
\lambda = 1\quad(\text{mult.\\ algébrica }2), \qquad \lambda = 3\quad(\text{mult.\\ algébrica }1).éé

Passo 4

Para \lambda=1, resolvemos (A-I)v=0.
A-I = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\[3pt] 0 & 0 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix},
que gera as equações v_2+2v_3=0. Daí v_2=-2v_3 e v_1 é livre. Uma base do espaço próprio é
\{(1,0,0),\,(0,-2,1)\}.]

Passo 5

Para \lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0.
A-3I = \begin{pmatrix}-2 & 1 & 2 \\[3pt] 0 & -2 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix},
levando a v_2=0 e -2v_1+2v_3=0, ou seja v_1=v_3. Uma base do espaço próprio é
\{(1,0,1)\}.]

Passo 6

Como a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 2 (igual à algébrica) e de \lambda=3 é 1 (igual à algébrica), há 3 vetores próprios independentes no total. Logo A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável.
Autovalores e multiplicidades algébricas: \lambda=1 (mult.\ alg.\ 2), \lambda=3 (mult.\ alg.\ 1).
Autovetores (bases dos espaços próprios):
Para \lambda=1, uma base é \{(1,0,0),(0,-2,1)\}.
Para \lambda=3, uma base é \{(1,0,1)\}.

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